GéométrieNotion · Glossaire
Hyperplan
Un hyperplan dans un espace vectoriel de dimension n est un sous-espace vectoriel de dimension n-1, ou plus généralement un sous-espace affine de dimension n-1. Dans R^n, un hyperplan est l'ensemble des solutions d'une équation linéaire non triviale a_1*x_1 + ... + a_n*x_n = b. Un hyperplan est la généralisation en dimension quelconque du concept de droite dans le plan (dimension 2) et de plan dans l'espace (dimension 3). Les hyperplans séparateurs jouent un rôle central en optimisation et en apprentissage automatique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier un hyperplan par sa dimension ou par une équation linéaire non triviale.
- Vérifier si un point appartient à l’hyperplan et situer deux points de part et d’autre.
- Distinguer hyperplan affine, hyperplan vectoriel, demi-espace et vecteur normal.
En clair
Sur une feuille, une droite partage le plan en deux côtés. Dans une pièce, un plan ferait de même avec l’espace. Un hyperplan prolonge cette idée lorsque le nombre de coordonnées augmente : il impose une seule contrainte linéaire et retire ainsi une dimension de liberté.
Dans le plan, la droite d’équation 2x + y = 4 est donc un hyperplan. Les points qui vérifient l’égalité sont sur la droite ; les autres se trouvent d’un côté ou de l’autre selon que 2x + y est inférieur ou supérieur à 4.
Définition
Dans un espace vectoriel de dimension finie n, avec n au moins égal à 1, un hyperplan vectoriel est un sous-espace de dimension n − 1. Sa codimension, c’est-à-dire la différence entre la dimension de l’espace et la sienne, vaut donc 1. Il est le noyau d’une forme linéaire non nulle, autrement dit d’une application linéaire qui associe un nombre à chaque vecteur.
Un hyperplan affine est une translation d’un hyperplan vectoriel. Si E désigne l’espace, si φ est une forme linéaire non nulle et si b est un scalaire du corps de base de E, il s’écrit . Lorsque b vaut 0, H contient le vecteur nul et constitue un hyperplan vectoriel. Lorsque b ne vaut pas 0, H ne contient pas le vecteur nul et n’est pas un sous-espace vectoriel.
Dans ℝn, la forme linéaire est déterminée par des coefficients a1, …, an, qui ne sont pas tous nuls. L’hyperplan est alors l’ensemble des points dont les coordonnées x1, …, xn vérifient . Le vecteur de coordonnées (a1, …, an) est normal à l’hyperplan. En dimension 2, l’hyperplan est une droite ; en dimension 3, c’est un plan.
Un exemple, pas à pas
Dans le plan ℝ2, considérons l’hyperplan H d’équation 2x + y = 4. Les données sont les coefficients 2 et 1, le second membre 4, le point A de coordonnées (1, 2), le point Q de coordonnées (2, 2) et le point R de coordonnées (0, 2).
1. Pour A, on remplace x par 1 et y par 2 : . Le point A appartient donc à H.
2. Pour Q, le même calcul donne . Le point Q est d’un côté de H.
3. Pour R, on obtient . Le point R est de l’autre côté : H sépare bien Q et R.
4. Le vecteur de coordonnées (2, 1) est normal à H. Un vecteur directeur de la droite a pour coordonnées (1, −2), et leur produit scalaire vaut . Ce calcul contrôle la perpendicularité annoncée par la figure.
En pratique
En géométrie, on remplace les coordonnées d’un point dans l’équation pour savoir s’il appartient à l’hyperplan. Si l’on doit seulement déterminer un côté, on compare le résultat au second membre au lieu d’exiger l’égalité.
En optimisation, lorsque la forme linéaire est non nulle, une contrainte à l’égalité décrit un hyperplan. Une inégalité décrit alors l’un des demi-espaces qu’il borde ; le signe de l’expression indique si un point respecte la contrainte. Si la forme linéaire est nulle, la contrainte ne définit aucune frontière : selon le second membre et le sens de la comparaison, elle admet tout l’espace ou aucun point.
En apprentissage automatique, un hyperplan séparateur sert de frontière entre des groupes de données représentés par des coordonnées. Si aucune frontière linéaire ne sépare les groupes, un hyperplan dans l’espace de départ n’est pas l’outil adapté.
À ne pas confondre
Hyperplan affine et hyperplan vectoriel. Le critère est le passage par le vecteur nul. L’équation 2x + y = 4 définit un hyperplan affine qui ne passe pas par l’origine, tandis que 2x + y = 0 définit un hyperplan vectoriel.
Hyperplan et demi-espace. L’hyperplan est la frontière donnée par une égalité. Le demi-espace contient tous les points vérifiant une inégalité : 2x + y ≤ 4 inclut la droite 2x + y = 4 et tout un côté du plan.
Hyperplan et vecteur normal. Le vecteur normal indique une direction perpendiculaire, mais il n’est pas lui-même l’hyperplan. Dans l’exemple, (2, 1) est un vecteur, alors que 2x + y = 4 décrit un ensemble de points.
Limites et pièges
Coefficients tous nuls. Une équation dont tous les coefficients sont nuls ne définit pas un hyperplan. Selon le second membre, elle est satisfaite par tout l’espace ou par aucun point ; il faut donc vérifier la non-nullité de la forme linéaire.
Dimension 1. La dimension charnière n = 1 donne un hyperplan de dimension 0. Dans une droite affine, un hyperplan est alors un point, et non une droite supplémentaire.
Équation non unique. Multiplier tous les coefficients et le second membre par un même nombre non nul ne change pas l’hyperplan. Ainsi, 2x + y = 4 et 4x + 2y = 8 décrivent exactement la même droite.
Points sur la frontière. Le signe distingue deux côtés seulement lorsque le résultat diffère du second membre. Pour le point A, 2x + y − 4 vaut 0 : A est sur l’hyperplan et n’appartient strictement à aucun des deux côtés ouverts.
Pour aller plus loin
La forme linéaire explique pourquoi une seule équation homogène non triviale produit un noyau de codimension 1.
L’espace vectoriel précise le cadre où prennent sens la dimension, le noyau et le vecteur normal.
L’espace affine montre comment une translation déplace un hyperplan sans changer sa direction.
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