GéométrieNotion · Glossaire
Codimension
La codimension d'un sous-espace vectoriel V d'un espace vectoriel E est la dimension de l'espace quotient E/V, c'est-à-dire la différence dim(E) - dim(V) lorsque E est de dimension finie. Un hyperplan d'un espace de dimension n a codimension 1. En géométrie différentielle, la codimension d'une sous-variété dans une variété ambiante est la différence de leurs dimensions. La notion de codimension est également fondamentale en algèbre commutative et en géométrie algébrique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir la codimension par la dimension de l'espace quotient.
- Calculer une codimension en dimension finie sur un exemple dans ℝ³.
- Distinguer dimension, codimension et quotient de dimensions.
- Repérer le rôle de l'espace ambiant et la limite du calcul par soustraction.
En clair
Imaginez l'espace ordinaire, avec ses trois directions. Un plan qui passe par l'origine en utilise deux : il lui manque une direction pour remplir tout l'espace. Ce nombre de directions manquantes est sa codimension. Le plan a donc codimension 1 dans l'espace à trois dimensions.
La codimension dépend toujours de l'espace ambiant choisi. Le même objet peut avoir une autre codimension lorsqu'on le place dans un espace de dimension différente.
Définition
Soit E un espace vectoriel et V un sous-espace vectoriel de E. L'espace quotient E/V regroupe deux vecteurs de E lorsqu'ils diffèrent d'un vecteur de V. La codimension de V dans E est, par définition, la dimension de ce quotient. Elle mesure ainsi les directions indépendantes de l'espace ambiant qui ne sont pas déjà portées par V.
Lorsque E est de dimension finie, la relation devient . Le symbole codimE(V) rappelle que la valeur dépend à la fois du sous-espace V et de l'espace ambiant E. Un hyperplan est précisément un sous-espace de codimension 1.
En géométrie différentielle, on applique la même lecture dimensionnelle à une sous-variété contenue dans une variété ambiante : leur différence de dimensions est la codimension. La notion intervient aussi en algèbre commutative et en géométrie algébrique.
Un exemple, pas à pas
Prenons l'espace vectoriel E = ℝ3 et son sous-espace V formé des vecteurs dont la troisième coordonnée est nulle. Les données sont donc dim(E) = 3 et V = {(x, y, 0)}. Les deux premières directions appartiennent à V ; la troisième, portée par le vecteur (0, 0, 1), reste indépendante de V.
1. Les vecteurs (1, 0, 0) et (0, 1, 0) forment une base de V, donc dim(V) = 2.
2. L'espace E est de dimension finie, donc on peut soustraire les dimensions.
3. Le calcul donne .
4. Dans le quotient E/V, la classe du vecteur (0, 0, 1) fournit l'unique direction indépendante.
2. L'espace E est de dimension finie, donc on peut soustraire les dimensions.
3. Le calcul donne .
4. Dans le quotient E/V, la classe du vecteur (0, 0, 1) fournit l'unique direction indépendante.
Le résultat est donc une codimension égale à 1. Pour le contrôler, on peut vérifier que V est un plan vectoriel de ℝ3 : c'est bien un hyperplan, et tout hyperplan a codimension 1.
En pratique
En algèbre linéaire, on calcule la codimension pour savoir combien de directions restent après avoir identifié tous les vecteurs d'un sous-espace. Si l'espace ambiant est de dimension finie et les deux dimensions sont connues, la soustraction est le calcul le plus direct ; sinon, la définition par E/V reste la référence.
En géométrie différentielle, la codimension situe une sous-variété dans son cadre ambiant. Dans un espace à trois dimensions, une surface de dimension 2 a codimension 1, tandis qu'une courbe de dimension 1 a codimension 2. On choisit donc la codimension plutôt que la seule dimension lorsqu'on veut rendre explicite l'écart avec l'espace environnant.
Dans l'exemple E = ℝ3 et V = {(x, y, 0)}, la codimension signale immédiatement qu'une seule direction manque au plan. La dimension 2 décrit V lui-même ; la codimension 1 décrit sa place dans E.
À ne pas confondre
Dimension et codimension. La dimension compte les directions propres à l'objet ; la codimension compte celles qui lui manquent dans un espace ambiant donné. Le plan V = {(x, y, 0)} a dimension 2, mais codimension 1 dans ℝ3.
Espace quotient et quotient de nombres. E/V est un espace vectoriel construit à partir des classes de vecteurs, et non le nombre dim(E) divisé par dim(V). Dans l'exemple, E/V a dimension 1 ; le rapport 3/2 ne joue aucun rôle.
Limites et pièges
Dimension infinie. La formule dim(E) − dim(V) est garantie ici lorsque E est de dimension finie. Si E est de dimension infinie, une soustraction informelle de dimensions peut masquer l'information pertinente ; il faut revenir à dim(E/V).
Choix de l'espace ambiant. Une codimension sans espace ambiant explicite peut être ambiguë. Le plan V = {(x, y, 0)} a codimension 1 dans ℝ3, mais sa codimension est 0 lorsqu'il est considéré comme espace ambiant pour lui-même.
Cas charnières. Le sous-espace E lui-même a codimension 0 dans E. À l'autre extrême, le sous-espace réduit au vecteur nul a la même codimension que la dimension de E lorsque celle-ci est finie. Ces valeurs contrôlent le sens de la soustraction.
Sous-variété requise. En géométrie différentielle, la différence de dimensions suppose que l'objet considéré possède bien une dimension de sous-variété dans la variété ambiante. Pour un sous-ensemble quelconque, il faut d'abord vérifier ce cadre avant de parler ainsi de codimension.
Pour aller plus loin
La fiche Hyperplan approfondit le cas central d'un sous-espace auquel il manque exactement une direction, donc de codimension 1.
On peut ensuite suivre la même idée dans les cadres cités par la définition : sous-variétés en géométrie différentielle, puis objets étudiés en algèbre commutative et en géométrie algébrique. Dans chaque cadre, le point de départ reste la comparaison avec une dimension ambiante clairement identifiée.
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