Conoyau

Une application envoie les points d’un espace de départ vers un espace d’arrivée. Imaginons que ses résultats remplissent seulement un plan dans l’espace à trois dimensions. Il reste alors une direction que l’application n’atteint pas.

Le conoyau décrit précisément ce qui manque du côté de l’arrivée. Il regroupe deux vecteurs lorsque leur différence est déjà produite par l’application. Si toutes les directions sont atteintes, le conoyau est l’espace nul : il ne contient qu’une seule classe, représentée notamment par le vecteur nul.

Soient deux espaces vectoriels E et F, et une application linéaire f de E vers F. Son image est le sous-espace de F formé des vecteurs effectivement atteints. Le conoyau de f est l’espace quotient de F par cette image : $\mathrm{coker}(f)=F\mathrm{/}\mathrm{Im}(f)\backslash operatorname\{coker\}(f)=F/\backslash operatorname\{Im\}(f)$. Ses éléments sont donc des classes de vecteurs de F ; deux vecteurs représentent la même classe lorsque leur différence appartient à l’image de f.

Lorsque F est de dimension finie, le théorème du rang donne $\dim (\mathrm{coker}(f))=\dim (F)-\mathrm{rang}(f)\backslash dim(\backslash operatorname\{coker\}(f))=\backslash dim(F)-\backslash operatorname\{rang\}(f)$. Dans ce cadre, le conoyau est réduit à l’espace nul exactement lorsque f est surjective. Il mesure ainsi le nombre de directions indépendantes de l’espace d’arrivée qui ne sont pas couvertes par f.

Dans un cadre catégorique adapté, avec morphismes nuls et conoyaux, le conoyau est un morphisme q partant de B tel que la composée de q avec f soit nulle. Tout morphisme partant de B qui annule f se factorise alors de façon unique par q. L’écriture comme quotient par l’image est valable notamment pour les espaces vectoriels et, plus généralement, dans une catégorie abélienne. Le conoyau est la construction duale du noyau lorsque ces deux notions existent.

Considérons l’application linéaire f de ℝ² vers ℝ³ qui envoie le couple (x, y) sur le triplet (x, y, x + y). Les données sont : un espace de départ de dimension 2, un espace d’arrivée de dimension 3 et deux vecteurs images, (1, 0, 1) et (0, 1, 1).

1. Les deux vecteurs images sont linéairement indépendants : le rang de f vaut donc 2.
2. L’image est le plan des triplets (a, b, c) qui vérifient c = a + b.
3. La dimension du conoyau vaut 3 − 2 = 1.
4. La quantité c − a − b ne change pas lorsqu’on ajoute un vecteur de l’image ; elle identifie la classe d’un triplet dans le quotient.

Le schéma résume la chaîne : f remplit le plan c = a + b, puis q attribue à chaque triplet la valeur c − a − b, constante sur sa classe dans le quotient. Ce quotient est de dimension 1, et son identification avec ℝ dépend ici du choix de q.

Ainsi, le conoyau est isomorphe à ℝ. On contrôle le résultat en composant les deux applications : pour tout couple (x, y), la valeur de q sur (x, y, x + y) est (x + y) − x − y = 0. L’application f n’est donc pas surjective, puisqu’un conoyau de dimension 1 subsiste.

Pour étudier une application linéaire, le conoyau décrit les directions absentes de l’espace d’arrivée. Si seul leur nombre importe, calculer le rang suffit ; le quotient devient utile lorsqu’il faut aussi conserver leur structure.

Pour tester la surjectivité entre espaces vectoriels, un conoyau nul donne le verdict. Si la question porte au contraire sur les vecteurs du départ envoyés sur zéro, il faut calculer le noyau.

Dans une construction catégorique, la propriété universelle du conoyau remplace le calcul avec des représentants. Cette voie est préférable lorsque les objets ne se manipulent pas comme des ensembles de vecteurs ou lorsqu’aucun complément particulier ne doit être choisi.

Noyau. Le noyau vit du côté du départ et rassemble les vecteurs envoyés sur zéro. Le conoyau vit du côté de l’arrivée et identifie les vecteurs modulo ceux qui sont atteints. Dans l’exemple, le noyau est nul tandis que le conoyau a dimension 1.

Complément de l’image. Un complément est un sous-espace choisi dans F, alors que le quotient par l’image est canonique. Un produit scalaire peut fournir le complément orthogonal du plan image, mais ce choix supplémentaire ne fait pas partie de la définition du conoyau.

Coimage. La coimage est obtenue en quotientant l’espace de départ E par le noyau de f. Le conoyau quotient au contraire l’espace d’arrivée F par l’image de f. Pour l’application de l’exemple, la coimage a dimension 2 et le conoyau dimension 1.

Dimension infinie. La formule « dimension de F moins rang de f » suppose ici des dimensions finies. Si F est de dimension infinie, il faut étudier directement le quotient ou employer les dimensions cardinales avec les précautions adaptées ; une soustraction ordinaire peut être dépourvue de sens.

Représentant non unique. Un élément du conoyau est une classe, pas un vecteur privilégié de F. Dans l’exemple, (0, 0, 1) et (1, 0, 2) ont la même valeur c − a − b, donc représentent la même classe. Il faut raisonner modulo l’image ou choisir explicitement un complément.

Cadre catégorique trop général. Une catégorie arbitraire ne possède pas nécessairement de morphismes nuls, d’images ni de conoyaux. Il faut vérifier l’existence de la construction et employer sa propriété universelle ; l’écriture B / Im(f) n’est automatique que dans des cadres adaptés, notamment les catégories abéliennes.

Conoyau nul. Pour les espaces vectoriels, une dimension de conoyau égale à 0 équivaut à la surjectivité. Il ne faut pas transporter ce critère numérique hors d’un cadre où la dimension et le quotient ont été définis.

La fiche application linéaire replace le conoyau dans son cadre de calcul : image, rang, noyau et critère de surjectivité.