AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
noyau d'une application linéaire
Soient E et F deux espaces vectoriels et f une application lineaire de E vers F. Le noyau de f, note Ker(f), est l'ensemble des vecteurs de E dont l'image par f est le vecteur nul de F : Ker(f) = { x dans E | f(x) = 0_F }. C'est un sous-espace vectoriel de E. Lorsque E est de dimension finie, la dimension de ce noyau est liee au rang de f par le theoreme du rang : dim(E) = dim(Ker f) + rg(f). La definition s'etend aux endomorphismes d'un espace E sur lui-meme.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les vecteurs appartenant à Ker(f).
- Calculer une base et la dimension d'un noyau sur un exemple dans ℝ³.
- Relier noyau, injectivité et théorème du rang.
- Distinguer le noyau de l'image et des antécédents d'un vecteur non nul.
En clair
Imaginez une machine qui transforme chaque triplet de nombres en un couple. Certains triplets différents peuvent ressortir sous la forme (0, 0). Le noyau rassemble précisément toutes ces entrées effacées par la transformation.
Pour l'application qui envoie (x, y, z) sur (x + y, y + z), les triplets comme (−2, 2, −2) disparaissent ainsi. Ils sont tous alignés avec (−1, 1, −1). Le noyau mesure donc les directions que l'application ne permet plus de distinguer.
Définition
Soient deux espaces vectoriels, notés E et F, et une application linéaire f de E vers F. Le noyau de f, noté Ker(f), est l'ensemble des vecteurs du domaine E que f envoie sur le vecteur nul de F. En notation ensembliste : .
Le noyau est toujours un sous-espace vectoriel de E : il contient le vecteur nul et reste stable par addition ainsi que par multiplication par un scalaire. Lorsque E est de dimension finie, notons dim(E) sa dimension, dim(Ker(f)) celle du noyau et rg(f) le rang de f, c'est-à-dire la dimension de l'image. Le théorème du rang donne .
Si f est un endomorphisme, l'espace d'arrivée est simplement E lui-même et la définition ne change pas. Enfin, f est injective exactement lorsque son noyau est réduit au seul vecteur nul.
De quoi c'est fait
Quatre éléments organisent la notion. Le domaine E fournit les vecteurs à tester. L'espace d'arrivée F fournit son vecteur nul 0F. L'application linéaire f associe une image à chaque vecteur de E. Enfin, la condition f(x) = 0F sélectionne les vecteurs du noyau.
Le noyau dépend donc à la fois de l'application et de son domaine, tandis que le zéro à atteindre dépend de l'espace d'arrivée. La linéarité garantit que les solutions forment un sous-espace. Dans des bases choisies, ces données suffisent à traduire la recherche du noyau en un système linéaire homogène, puis à en déterminer une base et la dimension.
Un exemple, pas à pas
On considère l'application linéaire f de ℝ3 vers ℝ2 définie par . Les données sont donc un triplet (x, y, z), deux coordonnées en sortie et la cible (0, 0). Le schéma rend visibles une entrée annulée et une entrée conservée.
1. Imposons f(x, y, z) = (0, 0).
2. Nous obtenons les équations x + y = 0 et y + z = 0.
3. Posons y = t. Alors x = −t et z = −t.
4. Toutes les solutions s'écrivent (−t, t, −t), où t est un nombre réel.
2. Nous obtenons les équations x + y = 0 et y + z = 0.
3. Posons y = t. Alors x = −t et z = −t.
4. Toutes les solutions s'écrivent (−t, t, −t), où t est un nombre réel.
Ainsi, et le noyau a pour dimension 1. Contrôle : pour t = 2, f(−2, 2, −2) = (0, 0). De plus, f(1, 0, 0) = (1, 0) et f(0, 0, 1) = (0, 1), donc le rang vaut 2. On vérifie bien 3 = 1 + 2.
En pratique
Pour tester l'injectivité d'une application linéaire, on résout f(x) = 0. Si le seul résultat est le vecteur nul, l'application est injective. Sinon, deux entrées distinctes peuvent avoir la même image.
Pour résoudre un système linéaire homogène, on cherche précisément le noyau de sa matrice. Une base du noyau décrit toutes les solutions sans devoir les énumérer.
Pour contrôler un calcul de rang en dimension finie, on compare les dimensions. Si la dimension du noyau et le rang ne totalisent pas celle du domaine, il faut reprendre la réduction du système.
À ne pas confondre
Noyau et image. Le noyau est un sous-espace du domaine E ; l'image est un sous-espace de l'espace d'arrivée F. Dans l'exemple, (−2, 2, −2) appartient au noyau, tandis que (1, 0) appartient à l'image.
Noyau et ensemble des antécédents d'un vecteur. Le noyau concerne uniquement les antécédents du vecteur nul. Les solutions de f(x) = b avec b non nul ne constituent généralement pas un sous-espace : si elles existent, elles forment un sous-espace affine parallèle au noyau.
Limites et pièges
Noyau réduit au vecteur nul. Écrire Ker(f) = {0} ne signifie pas que le noyau est vide. Ce cas charnière caractérise une application linéaire injective.
Application nulle. Si chaque vecteur est envoyé sur zéro, le noyau est tout le domaine E et le rang vaut 0. En dimension finie, le théorème du rang donne alors dim(E) = dim(Ker(f)).
Dimension infinie. L'identité numérique dim(E) = dim(Ker(f)) + rg(f) s'emploie directement lorsque E est de dimension finie. En dimension infinie, il faut préciser le cadre et interpréter les dimensions comme des cardinaux plutôt que soustraire naïvement des nombres.
Application non linéaire. L'ensemble des points envoyés sur zéro peut alors ne pas être un sous-espace. Avant de parler de noyau au sens de l'algèbre linéaire, il faut vérifier la linéarité de l'application.
Pour aller plus loin
application linéaire — Pour replacer le noyau dans la transformation qui préserve l'addition et la multiplication par un scalaire.
espace vectoriel — Pour revoir pourquoi le noyau, stable par combinaisons linéaires, possède lui-même cette structure.
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