théorème de Hahn-Banach

Imaginez une règle de mesure connue seulement sur une droite tracée dans un plan. Le théorème de Hahn-Banach affirme qu'on peut lui donner des valeurs sur tout le plan, sans changer les valeurs déjà connues ni dépasser la limite autorisée.

Par exemple, sur l'axe horizontal, la règle associe à (x, 0) le nombre x. Dans le plan, la formule x + y/2 conserve cette règle sur l'axe et reste contrôlée par |x| + |y|. Le théorème garantit l'existence d'un tel prolongement dans un cadre beaucoup plus général.

Le théorème de Hahn-Banach est un résultat d'existence sur les formes linéaires. On considère un espace vectoriel E sur ℝ ou ℂ, un sous-espace vectoriel F de E et une semi-norme p sur E. Une forme linéaire f est déjà définie sur F et satisfait la domination |f(x)| ≤ p(x) pour tout vecteur x de F. Il existe alors une forme linéaire f̃ sur E qui coïncide avec f sur F et satisfait encore |f̃(x)| ≤ p(x) pour tout x de E. Le résultat garantit au moins un prolongement, pas un prolongement unique.

La forme géométrique porte sur un ouvert convexe non vide X d'un espace vectoriel topologique réel localement convexe E et sur un sous-espace affine Y disjoint de X. Elle assure l'existence d'un hyperplan affine fermé H qui contient Y tout en restant disjoint de X. Cette formulation exprime une séparation géométrique plutôt qu'un prolongement de formule.

Les versions analytique et géométrique ont plusieurs variantes. Dans la formulation donnée ici, la preuve requiert l'axiome du choix ou l'un de ses équivalents.

Soient E un espace vectoriel réel ou complexe, F un sous-espace de E et p une semi-norme sur E. Si une forme linéaire f définie sur F vérifie, pour tout vecteur x de F, la domination suivante : $\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }\le p(x)|f(x)|\; \backslash le\; p(x)$, alors il existe une forme linéaire f̃ définie sur E qui prolonge f.

Ce prolongement conserve la même domination sur tout E : $\mathrm{\mid }\tilde{f}(x)\mathrm{\mid }\le p(x)|\backslash widetilde\; f(x)|\; \backslash le\; p(x)$. « Prolonger » signifie précisément que f̃(x) = f(x) pour chaque vecteur x appartenant à F.

Dans la forme analytique, il faut identifier un espace vectoriel E sur ℝ ou ℂ, un sous-espace vectoriel F, une semi-norme p sur E et une forme linéaire f sur F. La condition vérifiable est |f(x)| ≤ p(x) pour chaque x de F. La conclusion obtenue est l'existence d'au moins une forme linéaire sur E qui garde les valeurs de f et la même borne.

La domination ne peut pas être omise. Dans l'exemple où p(x, y) = |x| + |y|, la formule x + 2y échoue au point (0, 1), car 2 > 1. Cette formule n'est donc pas un prolongement dominé admissible ; il faut choisir un coefficient de y dont la valeur absolue ne dépasse pas 1.

Dans la forme géométrique, E est un espace vectoriel topologique réel localement convexe, X doit être ouvert, convexe et non vide, tandis que le sous-espace affine Y ne doit rencontrer aucun point de X. Le résultat fournit alors un hyperplan affine fermé contenant Y et évitant X.

Prenons le plan E = ℝ² et son axe horizontal F. Pour un point (x, y), posons p(x, y) = |x| + |y|. Sur F, la forme f associe au point (x, 0) le nombre x. Cherchons un prolongement à tout le plan.

1. Sur l'axe, |f(x, 0)| = |x| = p(x, 0). L'hypothèse de domination est satisfaite.

2. Choisissons le nombre a = 1/2 et définissons sur le plan la forme suivante : $\tilde{f}(x,y)=x+\frac{1}{2}y\backslash widetilde\; f(x,y)=x+\backslash frac\{1\}\{2\}y$.

3. Lorsque y = 0, on obtient f̃(x, 0) = x. La nouvelle forme redonne donc exactement f sur F.

4. Pour tout point du plan, l'inégalité triangulaire donne la chaîne suivante.

Au point (2, −2), le prolongement vaut 1 et p vaut 4 : le contrôle 1 ≤ 4 confirme le calcul. La même construction fonctionne avec tout coefficient a tel que |a| ≤ 1, ce qui montre que le prolongement n'est pas nécessairement unique. Le losange unité de p permet aussi de situer l'axe F et le noyau du prolongement choisi.

Pour étudier une forme linéaire connue sur un sous-espace, on vérifie d'abord qu'une semi-norme la domine. Si cette borne est disponible, Hahn-Banach permet de travailler sur l'espace entier tout en conservant exactement les valeurs initiales. Sans domination, il faut chercher une autre borne ou reformuler le problème.

Dans un espace vectoriel topologique réel localement convexe, on examine si l'ensemble à éviter est ouvert, convexe et non vide, puis si le sous-espace affine lui est disjoint. Lorsque ces critères sont remplis, la forme géométrique fournit un hyperplan affine fermé qui contient ce sous-espace et évite l'ouvert.

Le théorème sert à établir qu'un objet existe ; il ne donne pas toujours une recette explicite pour le calculer. Dans un exemple de dimension finie, une formule directe comme x + y/2 peut être préférable lorsqu'elle se vérifie immédiatement.

Prolongement linéaire et prolongement quelconque. Hahn-Banach conserve les additions et les multiplications par un scalaire. Une fonction qui reprend seulement les anciennes valeurs sur F, sans rester linéaire, ne satisfait pas la conclusion.

Semi-norme et norme. Une semi-norme peut valoir zéro pour un vecteur non nul, contrairement à une norme. Le critère est testable : si p(x) = 0, toute forme dominée doit aussi vérifier f(x) = 0 lorsque x appartient à son domaine.

Prolongement et représentation. Le théorème affirme qu'une forme linéaire dominée peut être étendue ; il n'affirme pas qu'elle possède une écriture canonique particulière. Dans l'exemple, plusieurs coefficients a donnent des prolongements différents.

L'existence n'est pas l'unicité. Dans l'exemple, toutes les formes f̃_a(x, y) = x + ay avec |a| ≤ 1 conviennent. Pour obtenir une forme précise, il faut imposer un critère supplémentaire.

La borne doit être conservée partout. Tester seulement quelques points ne suffit pas. Le coefficient a = 2 passe bien sur l'axe F, mais échoue dès (0, 1), où la valeur absolue du prolongement vaut 2 alors que p vaut 1.

Une semi-norme peut avoir un noyau non réduit à zéro. Sur tout vecteur x tel que p(x) = 0, la domination impose f̃(x) = 0. Une valeur non nulle sur un tel vecteur signale immédiatement que l'hypothèse est violée.

La preuve est non constructive dans ce cadre général. L'axiome du choix, ou l'un de ses équivalents, intervient pour garantir l'existence. Le théorème ne fournit donc pas à lui seul un algorithme calculant le prolongement.

La notion de forme linéaire précise l'objet que le théorème prolonge, tandis que celle d'espace vectoriel décrit le cadre algébrique de départ.

La forme géométrique devient plus lisible avec la définition d'un hyperplan. Enfin, l'axiome du choix éclaire le principe logique mobilisé par la démonstration générale.