AnalyseObjet mathématique · Glossaire
Espace de Fréchet
Un espace de Fréchet est un espace vectoriel topologique localement convexe, métrisable et complet. Sa topologie peut être définie par une famille dénombrable de semi-normes. Les exemples fondamentaux incluent l'espace des fonctions lisses sur un ouvert, muni des semi-normes de convergence uniforme des dérivées sur les compacts. Les espaces de Fréchet généralisent les espaces de Banach mais ne sont pas nécessairement normables, et l'analyse des cas non normables peut être plus délicate. Le théorème de Banach-Steinhaus et le théorème du graphe fermé s'y étendent.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les conditions qui définissent un espace de Fréchet.
- Lire une convergence au moyen de semi-normes sur les dérivées et les compacts.
- Distinguer un espace de Fréchet général d’un espace de Banach.
En clair
Prenez des fonctions lisses sur la droite réelle. Pour savoir si elles se rapprochent d’une fonction donnée, on peut observer leurs valeurs sur un intervalle fermé, puis leurs dérivées, et recommencer sur des intervalles de plus en plus grands. Chaque observation fournit une mesure partielle de l’écart.
Un espace de Fréchet organise simultanément cette infinité dénombrable de contrôles. Il autorise ainsi une notion précise de proximité et de limite, même lorsqu’une seule norme ne suffit pas à décrire toute la topologie.
Définition
Un espace de Fréchet est un espace vectoriel topologique réel ou complexe qui est séparé, localement convexe, métrisable et complet. La convexité locale signifie que le vecteur nul possède une base de voisinages convexes. La complétude signifie que toute suite de Cauchy converge pour une métrique compatible avec la topologie.
Cette topologie peut être engendrée par une famille dénombrable de semi-normes. Une semi-norme se comporte comme une norme pour l’homogénéité et l’inégalité triangulaire, mais elle peut s’annuler sur un vecteur non nul. La famille doit séparer les points : pour tout vecteur non nul, au moins une semi-norme prend une valeur non nulle. Les contraintes portant sur un nombre fini de ces semi-normes forment alors les voisinages de base.
L’espace des fonctions indéfiniment dérivables sur un ouvert en est l’exemple central : on contrôle uniformément chaque dérivée sur chaque compact. Tout espace de Banach est un espace de Fréchet, avec une seule norme. En revanche, un espace de Fréchet général n’est pas nécessairement normable.
De quoi c'est fait
La structure repose sur quatre ingrédients. D’abord vient un espace vectoriel, où l’on additionne des éléments et où on les multiplie par des scalaires. Une famille dénombrable de semi-normes décrit ensuite les différents contrôles possibles. Elle sépare les points et engendre une topologie localement convexe.
Une métrique compatible traduit cette topologie en distances sans devoir être elle-même une norme. Enfin, la complétude impose que les suites de Cauchy aient une limite dans l’espace. La famille dénombrable fournit la métrisabilité ; la complétude porte sur la topologie ainsi obtenue. Ces données suffisent à parler rigoureusement de continuité, de convergence et d’opérateurs linéaires. Changer la famille de semi-normes ne change pas l’espace si elle engendre exactement la même topologie.
Un exemple, pas à pas
Considérons l’espace des fonctions lisses sur ℝ. Pour chaque entier m au moins égal à 1 et chaque ordre n au moins égal à 1, on observe l’intervalle [−m, m] et les dérivées d’ordres 0 à n. Prenons la suite de fonctions fj définie par fj(x) = x/j.
La semi-norme associée à m et n est .
Étape 1. Sur [−m, m], la plus grande valeur absolue de fj vaut m/j.
Étape 2. La dérivée première vaut constamment 1/j, et toutes les dérivées suivantes sont nulles. Puisque m ≥ 1, on obtient pm,n(fj) = m/j.
Étape 3. Pour chaque couple fixé (m, n), le quotient m/j tend vers 0. Les graphes correspondant à j = 1, 2 et 4 rendent visible ce resserrement sur [−2, 2].
La suite fj converge donc vers la fonction nulle dans cet espace de Fréchet. Le contrôle se refait directement : pour une précision positive ε et un m fixé, choisir un entier j strictement supérieur à m/ε garantit pm,n(fj) < ε.
En pratique
Pour étudier des fonctions lisses, on fixe un compact et un ordre de dérivation, puis on contrôle uniformément toutes les dérivées jusqu’à cet ordre. Une norme unique convient si un seul contrôle global suffit ; les semi-normes sont préférables lorsque les compacts et les ordres doivent varier.
Pour tester la convergence d’une suite de fonctions lisses, on ne regarde pas seulement les valeurs. On vérifie, compact par compact et ordre par ordre, la convergence uniforme des dérivées. L’exemple des fonctions x/j montre ce geste avec un contrôle explicite.
Pour étudier un opérateur linéaire, cette structure permet d’employer des prolongements du théorème de Banach-Steinhaus et du théorème du graphe fermé. Un cadre de Banach reste plus simple lorsqu’une norme compatible et complète existe.
À ne pas confondre
Un espace de Banach est complet pour une topologie provenant d’une norme. Un espace de Fréchet peut demander une famille dénombrable de semi-normes sans norme équivalente. Le test porte donc sur la normabilité de la topologie, et non sur la seule existence d’une métrique.
Le cas tranche ainsi : tout espace de Banach est aussi un espace de Fréchet, mais l’espace usuel des fonctions lisses sur un ouvert n’est généralement pas un espace de Banach pour une norme unique décrivant tous les contrôles sur les compacts et les dérivées.
Limites et pièges
Une famille dénombrable de semi-normes ne suffit pas à elle seule. Si elle ne sépare pas les points, la topologie n’est pas séparée ; si des suites de Cauchy restent sans limite dans l’espace, la complétude manque. Il faut vérifier ces deux propriétés séparément.
Le mot « semi-norme » ne signifie pas que chaque contrôle distingue tous les vecteurs. Une semi-norme particulière peut s’annuler sur un vecteur non nul ; c’est la famille entière qui doit détecter tout vecteur non nul.
Dire qu’un espace de Fréchet « n’a pas de norme » est trop large. Les espaces de Banach fournissent précisément des espaces de Fréchet normables. La formulation exacte est qu’un espace de Fréchet n’est pas nécessairement normable.
Pour aller plus loin
L’analyse fonctionnelle situe les espaces de Fréchet parmi les cadres où l’on étudie fonctions et opérateurs.
L’espace de Banach montre le cas particulier où une norme unique engendre la topologie complète.
Le théorème de Banach-Steinhaus approfondit un résultat majeur qui reste disponible dans le cadre de Fréchet.
Le Graphe fermé (théorème du) présente un autre outil essentiel pour établir la continuité d’opérateurs linéaires.
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