Logique et ensemblesThéorème · Glossaire
théorème du point fixe
Pour une application f d'un ensemble dans lui-même, un élément a est un point fixe si f(a) = a : l'application le laisse inchangé. Plusieurs théorèmes garantissent l'existence de points fixes, mais leurs hypothèses et leurs conclusions diffèrent. Commencez par l'exemple guidé de Banach-Picard pour voir comment une contraction conduit, par itération, à un unique point fixe, puis consultez les définitions et les comparaisons pour distinguer ce résultat de ceux de Brouwer, Schauder et Knaster-Tarski.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir un point fixe et distinguer les conclusions de Banach-Picard, Brouwer, Schauder et Knaster-Tarski.
- Vérifier les hypothèses de Banach-Picard et calculer une suite d'itérations.
- Contrôler l'erreur et repérer les échecs liés au seuil k = 1, au domaine ou à l'unicité.
En clair
Prenez un nombre, appliquez-lui une règle, puis recommencez avec le résultat. Si la règle finit par ramener une valeur sur elle-même, cette valeur est un point fixe. Par exemple, la règle qui transforme x en (x + 6) / 3 laisse 3 inchangé.
Un théorème du point fixe ne cherche donc pas toujours cette valeur directement. Il donne des conditions garantissant qu'elle existe. Banach-Picard garantit aussi qu'elle est unique et que les répétitions s'en rapprochent ; Brouwer garantit seulement qu'au moins un point fixe existe.
Définition
Soit f une application d'un ensemble E dans lui-même. Un élément a de E est un point fixe lorsque f(a) = a. L'expression « théorème du point fixe » désigne une famille de résultats : chacun impose des hypothèses différentes à E et à f pour conclure à l'existence d'un tel élément.
Dans le théorème de Banach-Picard, E est un espace métrique complet non vide et f est contractante. Il existe alors un nombre k compris entre 0 inclus et 1 exclu tel que dans le cas réel. Le point fixe est unique, et les itérations xn+1 = f(xn) convergent vers lui depuis toute valeur initiale de E. Le cas d'un intervalle fermé de ℝ en est une version concrète.
Brouwer traite au contraire une application continue d'un convexe compact non vide d'un espace euclidien dans lui-même : il assure l'existence, pas l'unicité. Schauder remplace ce cadre par une partie non vide, convexe, fermée et bornée d'un espace vectoriel normé, avec une image relativement compacte. Knaster-Tarski relève de l'ordre : une application monotone d'un treillis complet possède des points fixes, dont un plus petit et un plus grand.
Le principe
Si un espace métrique E est complet et non vide, et si une application f de E dans E rapproche toutes les paires de points avec un même facteur k strictement inférieur à 1, alors f possède un unique point fixe x*.
Pour tout point initial x0 de E, la suite définie par xn+1 = f(xn) converge vers x*. Dans le cas réel, l'erreur vérifie notamment . C'est l'énoncé opérationnel de Banach-Picard ; les théorèmes de Brouwer, Schauder et Knaster-Tarski ont d'autres hypothèses et d'autres conclusions.
Quand l'utiliser
Pour appliquer Banach-Picard, il faut vérifier trois points : l'espace E n'est pas vide, il est complet pour la distance choisie, et f envoie E dans E. Il faut ensuite exhiber un facteur uniforme k avec 0 ≤ k < 1 qui rende f contractante. Ces conditions donnent existence, unicité et convergence des itérations.
Le seuil k = 1 ne suffit pas. Sur ℝ, l'application f(x) = x + 1 conserve les distances, mais elle n'a aucun point fixe. Il faut alors chercher un autre argument d'existence plutôt que citer Banach-Picard.
La complétude compte aussi. Sur l'intervalle ouvert ]0, 1[, l'application f(x) = (x + 1) / 2 est contractante et reste dans l'intervalle, mais son unique point fixe possible serait 1, qui n'en fait pas partie. Fermer convenablement le domaine rétablit ici le cadre du théorème.
Un exemple, pas à pas
On considère la règle f(x) = (x + 6) / 3 sur ℝ. Les données sont le point initial u0 = 0 et le facteur de contraction k = 1/3, car |f(x) − f(y)| = |x − y| / 3.
1. Résolvons f(L) = L : (L + 6) / 3 = L, donc L = 3. Banach-Picard garantit qu'il s'agit de l'unique point fixe.
2. Calculons les premières itérations : u1 = 2, u2 = 8/3, u3 = 26/9 et u4 = 80/27.
3. Les erreurs exactes sont successivement 3, 1, 1/3, 1/9 et 1/27. Elles sont divisées par 3 à chaque étape, conformément au facteur k.
4. Contrôlons le dernier résultat sans supposer L connu : . La borne coïncide ici avec l'erreur |u4 − L|.
5. Le tracé des deux droites et de l'itération montre le même mécanisme : l'escalier part de 0 et se resserre vers leur intersection, au point (3, 3).
En pratique
En résolution numérique, on transforme une équation en x = f(x), puis on répète f. Si une contraction est vérifiée sur un domaine stable, Banach-Picard donne un point d'arrivée unique et une estimation de l'erreur. Sinon, la simple itération n'est pas justifiée par ce théorème.
Pour certaines équations différentielles, on reformule le problème comme la recherche d'une fonction laissée inchangée par un opérateur. Le choix entre Banach-Picard et Schauder dépend alors des propriétés que l'on peut vérifier : contraction pour le premier, continuité et compacité relative de l'image pour le second.
En théorie des jeux, un équilibre peut être recherché comme une configuration stable sous une transformation. Le bon théorème dépend du cadre : Brouwer apporte une existence sous continuité et compacité convexes, sans promettre l'unicité ni une procédure d'itération.
À ne pas confondre
Banach-Picard et Brouwer. Banach-Picard demande une contraction sur un espace métrique complet ; il donne un point fixe unique et une itération convergente. Brouwer demande une application continue d'un convexe compact non vide d'un espace euclidien dans lui-même ; il garantit au moins un point fixe. Une application continue non contractante peut donc relever de Brouwer sans relever de Banach-Picard.
Brouwer et Schauder. Les deux sont des théorèmes d'existence fondés sur la continuité, mais leurs cadres diffèrent. Brouwer porte sur un convexe compact d'un espace euclidien. Schauder porte sur une partie convexe, fermée et bornée d'un espace vectoriel normé, et exige que l'image soit relativement compacte.
Limites et pièges
Facteur au seuil. Une majoration avec k = 1 ne prouve pas une contraction. Le symptôme est l'absence de rapprochement uniforme ; f(x) = x + 1 sur ℝ n'a même aucun point fixe. Il faut obtenir k < 1 ou changer de théorème.
Domaine incomplet ou instable. Une formule contractante ne suffit pas si les itérations sortent du domaine ou si leur limite lui échappe. Il faut vérifier séparément f(E) ⊂ E et la complétude de E.
Existence sans unicité. Brouwer n'affirme pas que le point fixe est unique. L'application identité sur un convexe compact vérifie ses hypothèses et fixe tous les points. Il ne faut donc pas déduire une valeur unique ni la convergence d'une itération sans hypothèse supplémentaire.
Cadres non interchangeables. Schauder ajoute une condition de compacité relative dans l’illustration, tandis que Knaster-Tarski repose sur un treillis complet et la monotonie. Avant de conclure, il faut identifier si le problème est métrique, topologique ou ordonné.
Pour aller plus loin
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