Edelstein (théorème d')

Imaginez un ensemble fermé de points, assez compact pour qu'une suite ne puisse pas s'en échapper. Une application déplace chaque point, mais rapproche toujours deux points distincts après leur déplacement. En répétant ce déplacement, les positions finissent par se concentrer autour d'un point qui ne bouge plus. Le théorème d'Edelstein affirme que ce point fixe existe et qu'il est unique. La distance entre deux points peut diminuer sans qu'un même pourcentage de réduction soit garanti partout.

Soit X un espace métrique compact non vide, c'est-à-dire un ensemble muni d'une distance d et vérifiant la propriété de compacité. Une application f de X dans X est strictement contractante au sens d'Edelstein lorsque, pour deux points distincts x et y de X, leur distance après application vérifie . Le théorème garantit alors un point fixe p dans X, donc un point tel que $f(p)=pf(p)=p$, et ce point est unique.

La différence avec le théorème de Banach tient à l'absence de constante q strictement inférieure à 1 imposant partout $d(f(x),f(y))\le qd(x,y)d(f(x),f(y))\backslash leq\; qd(x,y)$. Edelstein demande seulement une diminution stricte pour chaque paire distincte. La compacité fournit l'existence du point fixe ; la stricte diminution interdit qu'il y en ait deux. En dimension finie, un ensemble fermé et borné de l'espace euclidien est compact, mais une application seulement non expansive ne suffit pas en général.

Si X est un espace métrique compact non vide et si f : X → X vérifie, pour tous x et y distincts, , alors il existe un unique p dans X tel que $f(p)=pf(p)=p$. La conclusion porte sur l'existence et l'unicité du point fixe, sans exiger une constante uniforme de contraction.

Le domaine X doit être un espace métrique compact non vide ; l'application doit envoyer chaque point de X dans X. La diminution stricte doit être vérifiable pour toute paire distincte de points. Ces hypothèses donnent un point fixe unique. Par exemple, dans un espace euclidien de dimension finie, un ensemble fermé et borné convient comme domaine. En revanche, une application seulement non expansive peut conserver les distances : l'identité sur un segment a alors une infinité de points fixes. Dans ce contre-cas, il faut une hypothèse plus forte, comme la stricte diminution d'Edelstein ou une contraction uniforme de Banach.

Considérons l'intervalle X = [0, 1] muni de la distance usuelle et l'application f(x) = x − x²/2. Les données sont les suivantes : le domaine est [0, 1], la distance est la valeur absolue de la différence, et f envoie [0, 1] dans [0, 1]. Pour 0 ≤ x < y ≤ 1, on obtient f(y) − f(x) = (y − x)(1 − (x + y)/2). Comme x + y > 0, le facteur entre parenthèses est strictement inférieur à 1 et positif ; la distance diminue donc pour toute paire distincte. L'équation du point fixe devient x − x²/2 = x, puis x²/2 = 0, donc x = 0. Le contrôle est immédiat : f(0) = 0. La dérivée vaut 1 − x, dont la valeur maximale sur [0, 1] est 1 ; l'exemple n'impose donc pas de constante uniforme q < 1, tout en satisfaisant la diminution stricte.

Pour étudier une application sur un compact, on commence par vérifier que le domaine est bien stable : chaque image f(x) doit rester dans X. Cette vérification évite d'appliquer le théorème à une fonction dont les itérations sortiraient du domaine.

On compare ensuite les distances de toutes les paires distinctes. Si elles diminuent strictement, le théorème donne directement un point fixe unique. Si un coefficient q < 1 contrôle toutes les paires, le théorème de Banach fournit une conclusion plus quantitative, notamment sur la vitesse de convergence.

Si les distances peuvent seulement rester égales, le test d'Edelstein échoue. Il faut alors rechercher une hypothèse supplémentaire ou employer un résultat adapté aux applications non expansives.

Une contraction uniforme de Banach impose un même facteur q < 1 pour toutes les paires, alors qu'Edelstein impose seulement une diminution stricte paire par paire. Dans l'exemple f(x) = x − x²/2 sur [0, 1], les distances diminuent strictement, mais la dérivée atteint 1 en 0 : aucun q < 1 ne convient à tout l'intervalle.

Une application non expansive vérifie seulement d(f(x), f(y)) ≤ d(x, y). L'identité sur [0, 1] est non expansive, mais chaque point est fixe ; elle ne satisfait donc pas la conclusion d'unicité d'Edelstein. Le signe strict « < » est le critère qui tranche.

La compacité est décisive pour l'existence. Sur un domaine non compact, la stricte diminution des distances ne suffit pas à elle seule : sur X = (0, 1), l'application f(x) = x/2 diminue strictement les distances, mais son point fixe 0 n'appartient pas à X. Le symptôme est une suite d'itérés qui converge vers le bord sans atteindre le domaine ; il faut alors travailler dans un compact contenant la limite ou utiliser un autre théorème.

La stricte diminution n'est pas une contraction uniforme. Dans l'exemple f(x) = x − x²/2, le facteur local tend vers 1 lorsque les points se rapprochent de 0. Chercher un q < 1 global conduirait donc à un faux diagnostic, même si le point fixe unique est bien 0.

Enfin, « non expansive » ne signifie pas « strictement contractante ». L'inégalité large autorise des distances inchangées, comme pour l'identité ; elle ne permet ni de conclure à l'existence dans ce cadre, ni surtout d'assurer l'unicité.

Le théorème du point fixe offre un cadre de comparaison pour situer les résultats d'Edelstein parmi les théorèmes d'existence et d'unicité. Le lecteur y gagne une vue d'ensemble des mécanismes qui font apparaître un point invariant, avant de distinguer les hypothèses propres aux espaces métriques et aux applications contractantes.