AnalyseObjet mathématique · Glossaire
application contractante
Une application contractante est une application lipschitzienne dont le rapport de Lipschitz k vérifie 0 ≤ k < 1. Cela signifie que l'application rapproche les points : pour deux points distincts, la distance entre leurs images est strictement inférieure à la distance entre ces points. Le théorème du point fixe de Banach (ou théorème des contractions) affirme que toute application contractante d'un espace métrique complet dans lui-même admet un unique point fixe.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter le rapport de contraction comme un raccourcissement uniforme des distances.
- Vérifier sur f(x) = (x + 6)/2 le rapport 1/2 et le point fixe 6.
- Suivre quatre itérations et contrôler exactement l'erreur restante.
- Identifier les rôles de la stabilité du domaine et de la complétude.
- Distinguer contraction, application lipschitzienne, application non expansive et point fixe attractif.
En clair
Prenons la règle qui remplace un nombre par sa moitié augmentée de 3. En partant de 0, elle donne successivement 3, puis 4,5, puis 5,25. Les résultats se rapprochent de 6, qui reste inchangé lorsqu'on lui applique la règle.
Cette règle est contractante parce qu'elle divise par deux l'écart entre deux nombres. Répéter l'opération resserre donc les écarts et conduit vers l'unique point fixe, ici 6.
Définition
Soit un espace métrique X, c'est-à-dire un ensemble muni d'une distance d. Une application f de X dans lui-même est contractante s'il existe un nombre réel k, indépendant des points et compris entre 0 inclus et 1 exclu, tel que l'inégalité suivante soit vraie pour tous les points x et y de X.
Le plus petit rapport k qui convient est la constante de Lipschitz de f. Pour deux points distincts, l'inégalité impose bien une diminution stricte de leur distance. Si X est complet et si f envoie X dans X, le théorème du point fixe de Banach garantit un unique point x* tel que f(x*) = x*. À partir de n'importe quel point initial x0, la suite définie en répétant f converge vers x*.
De quoi c'est fait
Une contraction réunit quatre données. L'espace X fournit les points possibles ; la distance d mesure leurs écarts ; l'application f transforme chaque point en un point du même espace ; enfin, un rapport uniforme k inférieur à 1 borne le raccourcissement de tous les écarts.
La distance donne donc un sens au mot « rapprocher », tandis que k quantifie ce rapprochement. L'application doit agir de X vers X pour pouvoir être répétée. La complétude ne définit pas la contraction elle-même, mais elle empêche la suite des itérés de converger vers un point absent de l'espace. Ces données suffisent à construire les itérés et, sous cette dernière hypothèse, à identifier leur unique limite fixe.
Un exemple, pas à pas
Étudions sur les nombres réels l'application f définie par f(x) = (x + 6)/2. Les données sont l'espace ℝ avec sa distance usuelle, le point initial x0 = 0 et le rapport candidat k = 1/2.
1. Pour deux réels x et y, la distance entre f(x) et f(y) vaut |x − y|/2. Elle est donc au plus égale à (1/2)|x − y| : l'application est contractante de rapport 1/2.
2. Le point fixe vérifie x = (x + 6)/2. En multipliant par 2 puis en retranchant x, on obtient exactement x* = 6.
3. Les quatre premières itérations donnent x1 = 3, x2 = 4,5, x3 = 5,25 et x4 = 5,625. À chaque étape, la distance restante à 6 est divisée par deux.
Le diagramme matérialise les trois premiers rapprochements : les points avancent vers 6 sans le dépasser.
4. Le contrôle est refaisable : après quatre étapes, |x4 − 6| = 0,375, tandis que (1/2)4|x0 − 6| = 6/16 = 0,375. La borne annoncée est ici atteinte exactement.
En pratique
Pour approcher une solution de f(x) = x, on choisit un point de départ puis on réapplique f. Une contraction sur un espace complet est préférable à une simple itération sans garantie, car elle assure à la fois convergence et unicité.
Pour comparer deux trajectoires numériques, le rapport k donne un contrôle immédiat : après n étapes, leur écart est au plus multiplié par kn. Plus k est petit, plus l'influence du point de départ s'efface vite.
Pour valider un algorithme itératif, on cherche une région complète que la règle laisse stable et une même borne k < 1 sur toute cette région. Si la borne n'est que locale, il faut aussi vérifier que les itérés ne quittent pas la zone où elle vaut.
À ne pas confondre
Application lipschitzienne. Elle satisfait une inégalité avec une constante finie, mais cette constante peut être supérieure ou égale à 1. Par exemple, x ↦ 2x est lipschitzienne sur ℝ et double les distances : elle n'est pas contractante.
Application non expansive. Elle n'augmente pas les distances, ce qui autorise un rapport égal à 1. Sur un espace contenant au moins deux points, l'identité x ↦ x est non expansive, mais elle n'est pas contractante et chacun de ses points est fixe.
Point fixe attractif. Des itérés peuvent converger vers un point fixe sans qu'une contraction uniforme existe sur tout l'espace. Le critère décisif est donc l'inégalité valable pour toute paire de points dans le domaine considéré.
Limites et pièges
Au seuil k = 1. Le théorème de Banach ne s'applique plus. L'identité sur ℝ conserve toutes les distances et possède une infinité de points fixes ; il faut une autre propriété pour conclure.
Espace incomplet. Sur l'intervalle ouvert ]0, 1[, l'application x ↦ x/2 est contractante, mais son seul point fixe possible est 0, qui n'appartient pas à l'espace. Il faut compléter l'espace ou choisir un domaine complet stable.
Domaine non stable. Une règle peut raccourcir les distances tout en envoyant certains points hors de l'ensemble étudié. L'itération cesse alors d'être définie dans cet ensemble ; il faut vérifier explicitement que f(X) est inclus dans X.
Rapprochement seulement local. Constater que quelques paires se rapprochent ne fournit pas un rapport uniforme inférieur à 1. Il faut majorer le quotient des distances pour toutes les paires distinctes de la zone retenue.
Pour aller plus loin
La fiche application lipschitzienne replace les contractions dans la famille plus large des applications dont la variation est bornée par celle de l'entrée.
La fiche théorème du point fixe prolonge l'étude vers les résultats qui garantissent l'existence de points laissés inchangés par une application.
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