AnalyseObjet mathématique · Glossaire
application lipschitzienne
Soit I un intervalle de ℝ et f une fonction de I dans ℝ. On dit que f est lipschitzienne de rapport k > 0 si pour tous x, y de I on a :
|f(x) − f(y)| ≤ k|x − y|.
Autrement dit, f contracte ou dilate les distances d'un facteur au plus k. Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. Si k < 1, f est contractante. Plus généralement, une fonction dérivable dont la dérivée est bornée est lipschitzienne, le rapport étant borné par le supremum de |f'|.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire l’inégalité qui borne l’écart entre deux images.
- Vérifier le rapport 2 pour la fonction f(x) = 2x + 1.
- Distinguer une fonction lipschitzienne d’une application contractante.
- Relier une dérivée bornée à un rapport de Lipschitz.
En clair
Prenons deux nombres et regardons leurs images par une fonction. Si l’écart entre les images ne peut jamais dépasser un multiple fixe de l’écart de départ, la fonction est lipschitzienne. Ce multiple, appelé rapport de Lipschitz, joue le rôle d’une limite de déformation.
Avec f(x) = 2x + 1, deux nombres éloignés de 2 donnent des images éloignées de 4. Le facteur reste 2, quels que soient les nombres choisis.
Définition
Soit un intervalle I de nombres réels et une fonction f qui associe à chaque élément de I un nombre réel. La fonction f est lipschitzienne s’il existe un nombre réel k strictement positif qui majore toujours, pour deux nombres de départ distincts, le rapport entre l’écart des images et l’écart des nombres de départ. Ce nombre k est un rapport, ou une constante, de Lipschitz.
Pour tous les nombres x et y de l’intervalle I, la condition s’écrit . Elle impose une même borne k à toutes les paires de points. Plusieurs valeurs de k peuvent convenir ; si une valeur convient, toute valeur plus grande convient aussi.
Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. Lorsque k est strictement inférieur à 1, la fonction est contractante. Enfin, si f est dérivable et si la valeur absolue de sa dérivée est bornée, alors f est lipschitzienne ; le supremum de |f′| fournit une borne pour son rapport de Lipschitz.
De quoi c'est fait
La propriété réunit cinq éléments. L’intervalle I fixe le domaine où la comparaison est exigée. La fonction f produit les images à comparer. Les deux nombres x et y représentent une paire quelconque de points de I. Le nombre positif k fixe la déformation maximale autorisée. Enfin, l’inégalité relie l’écart |x − y| à l’écart |f(x) − f(y)|.
Le même k doit fonctionner pour toutes les paires x, y du domaine : il dépend de la fonction et de l’intervalle, pas de la paire testée. Ces données suffisent à vérifier si un rapport proposé convient et à borner l’écart entre deux images à partir de l’écart initial.
Un exemple, pas à pas
Étudions la fonction f définie sur ℝ par f(x) = 2x + 1.
Les données sont la fonction f, deux nombres réels quelconques x et y, et le rapport proposé k = 2.
Les données sont la fonction f, deux nombres réels quelconques x et y, et le rapport proposé k = 2.
1. On soustrait les deux images : f(x) − f(y) = (2x + 1) − (2y + 1) = 2(x − y).
2. On prend la valeur absolue, puis on obtient . L’inégalité de Lipschitz est donc satisfaite avec k = 2.
3. On contrôle avec x = 1 et y = 3 : les images valent f(1) = 3 et f(3) = 7. L’écart initial vaut 2, tandis que l’écart final vaut 4, soit exactement 2 × 2. Le rapport 2 est atteint ; un rapport strictement inférieur à 2 ne peut donc pas convenir sur ℝ. La figure représente ce contrôle sur la droite de f.
En pratique
Pour contrôler directement une fonction, on compare |f(x) − f(y)| à |x − y| et l’on cherche un même facteur valable pour toutes les paires du domaine. Cette voie est naturelle lorsque la différence des images se factorise, comme pour f(x) = 2x + 1.
Si la fonction est dérivable, on peut plutôt chercher une borne de |f′|. Cette alternative est préférable lorsque la dérivée se majore simplement sur l’intervalle étudié.
Une fois un rapport k obtenu, un écart initial connu donne aussitôt une borne pour l’écart des images : on multiplie l’écart initial par k. Si k < 1, le test établit en plus que la fonction est contractante.
À ne pas confondre
Continuité uniforme. Une fonction lipschitzienne est uniformément continue, mais la réciproque est fausse. Sur [0, 1], la fonction f(x) = √x est uniformément continue sans être lipschitzienne : entre 0 et un nombre positif t, le rapport des écarts vaut , qui n’est borné par aucun k lorsque t tend vers 0. Voir continuité uniforme.
Application contractante. Une application contractante est un cas particulier : elle admet un rapport de Lipschitz strictement inférieur à 1. La fonction f(x) = 2x + 1 est lipschitzienne de rapport 2, mais elle n’est pas contractante. Voir application contractante.
Limites et pièges
Un rapport n’est pas nécessairement minimal. Si k convient, toute valeur plus grande convient également. Pour f(x) = 2x + 1 sur ℝ, k = 3 satisfait l’inégalité, mais le contrôle avec x = 1 et y = 3 montre que le facteur 2 est déjà atteint.
Le seuil k = 1 demande de la précision. La contraction exige k < 1, et non k ≤ 1. Un rapport égal à 1 établit la propriété lipschitzienne, sans établir que la fonction est contractante.
La borne doit être globale sur le domaine choisi. Un facteur qui fonctionne seulement pour certaines paires ne suffit pas. Il faut soit trouver un même k pour tous x et y de l’intervalle, soit restreindre explicitement l’intervalle étudié.
La dérivée bornée est une condition suffisante. Lorsqu’elle est disponible, sa borne fournit un rapport de Lipschitz. En l’absence d’une telle borne, ce seul procédé ne permet pas de conclure ; il faut revenir directement à l’inégalité sur les écarts.
Pour aller plus loin
Continuité uniforme — Pour situer précisément la conséquence générale assurée par toute fonction lipschitzienne.
Application contractante — Pour approfondir le cas particulier où le rapport de Lipschitz est strictement inférieur à 1.
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