Module d'uniforme continuité

Prenons deux nombres très proches et comparons les valeurs que leur associe une fonction. Le module d’uniforme continuité indique la borne supérieure des écarts de sortie que l’on risque d’observer lorsque l’écart d’entrée reste inférieur à un seuil donné.

Si ce pire écart devient aussi petit que souhaité quand le seuil se resserre, la fonction est uniformément continue. Le même seuil fonctionne alors partout dans l’ensemble étudié, et pas seulement autour d’un point choisi.

Soit une fonction f définie sur un ensemble non vide D de nombres réels. Pour un seuil positif noté δ, son module d’uniforme continuité, noté ω_f(δ), est le supremum des écarts |f(x) − f(y)| obtenus avec deux éléments x et y de D tels que |x − y| < δ. Le supremum est la plus petite borne supérieure de ces écarts ; il n’est pas nécessairement atteint par une paire de points.

Cette définition s’écrit . La fonction f est uniformément continue sur D exactement lorsque ${\lim }_{\delta \to 0^{+}}{\omega }_f(\delta )=0\backslash lim\_\{\backslash delta\backslash to\; 0^+\}\backslash omega\_f(\backslash delta)=0$. Le module ne donne donc pas seulement un verdict : sa vitesse de décroissance quantifie la régularité uniforme.

Si f est lipschitzienne de constante K, c’est-à-dire si |f(x) − f(y)| ≤ K|x − y| pour tous x et y de D, alors ω_f(δ) ≤ Kδ. Cette majoration suffit à établir l’uniforme continuité, mais elle n’est pas toujours une égalité.

Considérons la fonction f qui associe 3x à tout nombre réel x. On cherche son module pour le seuil δ = 0,6, puis on contrôle le résultat sur une paire de points.

Données.
D = ℝ.
f(x) = 3x.
δ = 0,6.
Points de contrôle : x = 0,2 et y = 0,7.

1. Pour deux réels quelconques x et y, l’écart de sortie vaut |f(x) − f(y)| = 3|x − y|.

2. Sous la condition |x − y| < 0,6, tous les écarts de sortie sont strictement inférieurs à 3 × 0,6 = 1,8. Ils peuvent toutefois s’approcher arbitrairement de 1,8. Le supremum est donc ω_f(0,6) = 1,8.

3. Pour la paire annoncée, |0,7 − 0,2| = 0,5, puis |f(0,7) − f(0,2)| = |2,1 − 0,6| = 1,5.

Le contrôle donne bien 1,5 < 1,8. Plus généralement, ω_f(δ) = 3δ pour tout δ positif ; ce module tend vers 0 avec δ.

Pour garantir une précision de sortie, on fixe d’abord l’erreur tolérée. Avec f(x) = 3x, une erreur de sortie inférieure à 0,03 est assurée dès que l’écart d’entrée reste inférieur à 0,01.

Pour comparer la régularité de plusieurs fonctions, leurs modules montrent comment le pire écart décroît avec δ. Un simple verdict de continuité uniforme ne distingue pas ces vitesses de décroissance.

Quand une constante de Lipschitz K est connue, la borne Kδ est souvent plus rapide à obtenir que le supremum exact. On cherche le module exact lorsque cette borne est trop grossière pour la précision visée.

Continuité en chaque point. La continuité ordinaire autorise le seuil d’entrée à dépendre du point considéré. L’uniforme continuité exige un seuil commun à tout D. Ainsi, x ↦ x² est continue sur ℝ, mais son module d’uniforme continuité ω_f(δ) vaut +∞ pour tout δ positif : elle n’y est pas uniformément continue.

Constante de Lipschitz. Une constante K est un coefficient qui majore tous les rapports d’écarts, tandis que ω_f(δ) dépend du seuil δ et décrit le pire écart à cette échelle. Pour f(x) = 3x, K = 3 et ω_f(δ) = 3δ : les deux objets restent distincts.

Module infini. Le supremum n’est pas forcément fini. Pour f(x) = x² sur ℝ et tout δ > 0, des points très grands séparés par moins de δ donnent des écarts de sortie arbitrairement grands. Il faut alors restreindre le domaine ou employer une autre information locale.

Supremum non atteint. La condition |x − y| < δ est stricte. Pour f(x) = 3x, aucun couple séparé exactement de δ n’est admissible, mais les écarts approchent 3δ ; il faut prendre la borne supérieure, et non chercher nécessairement un maximum.

Borne non optimale. De ω_f(δ) ≤ Kδ, on ne peut pas conclure que le module vaut Kδ. Une constante de Lipschitz choisie trop grande fournit seulement une majoration ; pour obtenir le module, il faut rechercher le supremum réel des écarts.

Seuil positif. Le module est normalement étudié pour δ > 0 et sa limite à droite en 0. Évaluer naïvement la famille de couples avec |x − y| < 0 produit un ensemble vide ; il faut examiner le comportement lorsque δ décroît vers 0.

La fiche sur la continuité uniforme développe le critère qualitatif que le module rend quantitatif.

La fonction continue fournit le point de comparaison pour distinguer un contrôle local, dépendant du point, d’un contrôle uniforme sur tout le domaine.