AnalyseThéorème · Glossaire
Krasnoselskii (théorème de)
Le théorème de Krasnoselskii est un résultat de topologie et d'analyse fonctionnelle qui fournit des conditions suffisantes pour l'existence d'un point fixe d'une application sur un espace de Banach. Une version importante stipule que si une application est la somme d'une application complètement continue et d'une contraction, alors elle admet un point fixe sous des hypothèses appropriées sur le domaine. Ce théorème est un outil puissant pour démontrer l'existence de solutions à des équations différentielles et intégrales non linéaires.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer le rôle de la contraction de celui de l'application compacte.
- Vérifier la stabilité croisée A x + B y dans un ensemble fermé, borné et convexe.
- Suivre un exemple d'équation intégrale jusqu'à la solution exacte u(t) = 3/(9 − 2t).
- Reconnaître ce que le théorème ne garantit pas : unicité, itération convergente ou compacité issue de la seule bornitude.
- Choisir entre les théorèmes de Banach, de Schauder et de Krasnoselskii selon la structure de l'opérateur.
En clair
Imaginez une boîte de courbes autorisées et une règle qui transforme chaque courbe. Cette règle combine deux effets : l'un rapproche les courbes entre elles, tandis que l'autre les déforme sans produire une dispersion incontrôlable. Le théorème de Krasnoselskii donne des conditions pour qu'une courbe de la boîte ressorte finalement inchangée.
Cette courbe inchangée est un point fixe. L'intérêt du théorème est de répartir le travail entre une contraction, qui apporte le rapprochement, et une application compacte, qui maîtrise l'ensemble des déformations possibles.
Définition
Le théorème de Krasnoselskii est un théorème d'existence de point fixe dans un espace de Banach, c'est-à-dire un espace vectoriel normé complet. On considère dans cet espace un ensemble M non vide, fermé, borné et convexe, ainsi que deux applications A et B définies sur M. L'application A est une contraction : il existe un nombre q compris entre 0 inclus et 1 exclu tel que, pour tous x et y dans M, .
L'application B est continue et compacte : l'adhérence de l'ensemble B(M) est compacte. Dans ce cadre, on dit aussi que B est complètement continue. La condition de stabilité standard exige que pour toute paire x et y de M, y compris lorsque les deux éléments sont différents.
Sous ces hypothèses, il existe au moins un élément u de M tel que . Autrement dit, la somme A + B possède un point fixe dans M. Le résultat garantit l'existence, mais ni l'unicité de ce point fixe ni la convergence de l'itération qui appliquerait répétitivement A + B. Certaines variantes du théorème remplacent la condition de stabilité croisée par d'autres hypothèses ; elles doivent être énoncées séparément.
Le principe
Soit M une partie non vide, fermée, bornée et convexe d'un espace de Banach. Soient A et B deux applications de M dans cet espace. Si A est une contraction, si B est continue et compacte, et si pour tous x et y dans M, alors il existe u dans M tel que . La somme A + B admet donc au moins un point fixe dans M.
Quand l'utiliser
Le domaine M doit être non vide, fermé, borné et convexe dans un espace de Banach. Ces propriétés fournissent à la fois un cadre complet et une région stable où chercher le point fixe.
Il faut ensuite vérifier trois faits : A possède un rapport de contraction q strictement inférieur à 1 ; B est continue et B(M) est relativement compact ; enfin, A x + B y appartient à M pour toutes les paires x, y de M. La dernière vérification est plus forte que le seul contrôle de A x + B x.
Si l'estimation disponible donne seulement q = 1, elle ne suffit pas à établir que A est une contraction stricte, mais elle ne prouve pas non plus que A ne l'est pas : la borne peut être non optimale. Il faut alors améliorer l'estimation, changer de norme lorsque cela est légitime, ou, si la meilleure constante de Lipschitz vaut bien 1, chercher un autre théorème de point fixe adapté à l'opérateur complet.
Un exemple, pas à pas
Dans l'espace des fonctions continues sur [0, 1], muni de la norme du maximum, prenons la boule M formée des fonctions u telles que ‖u‖∞ ≤ 1. Les données sont l'intervalle [0, 1], la borne 1, l'application A définie par A u(t) = u(t)/4 et une application intégrale B.
1. Pour une fonction v de M, posons . L'application A est une contraction de rapport 1/4. L'application B est continue et compacte, car les fonctions B v sont uniformément bornées et ont une variation uniformément contrôlée.
2. Pour u et v dans M, l'estimation croisée donne : . La somme appartient donc encore à M.
3. Le théorème garantit une fonction u de M vérifiant :
4. En évaluant à t = 0 puis en dérivant, on obtient . La solution correspondante est .
5. Le contrôle est direct : u croît de 1/3 à 3/7 sur [0, 1], donc ‖u‖∞ = 3/7, valeur strictement inférieure à 1. La substitution dans l'équation intégrale redonne exactement ses deux membres. La courbe associée rend visible son maintien dans M.
En pratique
Pour une équation intégrale non linéaire, on isole souvent une partie contractante et un opérateur intégral compact. Si l'opérateur complet est lui-même une contraction, le théorème de Banach est préférable, car il apporte aussi l'unicité et une itération convergente.
Pour une équation différentielle, on commence par la reformuler en équation intégrale sur un ensemble M de fonctions qui doit être non vide, fermé, borné et convexe. On contrôle ensuite séparément le rapport de contraction de A, la continuité et la compacité de la partie intégrale B, puis la stabilité croisée A u + B v ∈ M pour tous u, v ∈ M.
Le théorème sert aussi de diagnostic : l'échec d'une hypothèse indique le prochain travail. Un rapport trop grand appelle une meilleure estimation ; une compacité manquante appelle un critère adapté ; une stabilité défaillante appelle un autre domaine M.
À ne pas confondre
Avec le théorème du point fixe de Banach. Banach demande que l'opérateur complet soit une contraction d'un espace complet dans lui-même ; il donne existence, unicité et convergence des itérations. Krasnoselskii ne demande la contraction que pour une partie A de la somme. Dans l'exemple, l'estimation ‖A u + B v‖∞ ≤ 1 établit la stabilité croisée dans M, mais ne mesure pas le rapport de contraction de A + B. Banach ne permet de conclure que si l'on établit séparément une borne de Lipschitz strictement inférieure à 1 pour l'opérateur complet.
Avec le théorème du point fixe de Schauder. Schauder s'applique à un opérateur continu et compact qui envoie un ensemble convexe approprié dans lui-même. Krasnoselskii autorise une somme dont seule la partie B est compacte. Si l'opérateur complet est compact, Schauder constitue le test direct ; s'il se décompose en contraction plus partie compacte, Krasnoselskii correspond à la structure observée.
Limites et pièges
Stabilité vérifiée seulement sur la diagonale. Montrer que A x + B x appartient à M ne prouve pas la condition standard. Le symptôme est l'absence de contrôle lorsque les entrées de A et B diffèrent. Il faut vérifier A x + B y pour toute paire, ou citer une variante dont les hypothèses correspondent réellement au problème.
Rapport égal à 1. Une application seulement non expansive n'est pas une contraction au sens requis : le nombre q doit être strictement inférieur à 1. Si le meilleur majorant est q = 1, aucune conclusion ne vient de cet énoncé.
Compacité réduite à la bornitude. En dimension infinie, un ensemble borné n'a pas nécessairement une adhérence compacte. Pour un opérateur intégral sur des fonctions continues, il faut par exemple établir une compacité réelle, souvent grâce à la bornitude et à l'équicontinuité de l'image.
Existence prise pour une méthode de calcul. Le théorème ne promet ni un point fixe unique ni la convergence de la suite un+1 = A un + B un. Une procédure numérique exige une analyse supplémentaire de convergence et de stabilité.
Pour aller plus loin
Le théorème du point fixe replace l'existence d'un élément invariant dans son cadre général et aide à comparer les hypothèses disponibles.
La fiche Schauder (théorème du point fixe de) approfondit la branche compacte et montre quand un seul opérateur compact suffit.
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