Majoration a priori (principe de)

Imaginez que l'on cherche une courbe satisfaisant une équation, sans savoir encore si cette courbe existe. On peut parfois prouver que toute courbe convenable resterait dans une zone bornée : sa hauteur, sa pente ou une autre mesure de sa taille ne pourrait pas dépasser une quantité calculée à partir des données.

Cette barrière est une majoration a priori. Elle ne construit pas la solution. Elle empêche toutefois des solutions candidates de devenir incontrôlables et prépare ainsi une preuve d'existence, puis parfois d'unicité.

Une majoration a priori est une inégalité que devrait vérifier toute solution suffisamment régulière d'un problème donné, avant que l'existence d'une telle solution soit établie. Elle relie la taille de la solution aux seules données connues. Si la lettre u désigne une solution éventuelle, la lettre f les données et la lettre C une constante indépendante de u, la forme typique est : $\parallel u{\parallel }_X\le C\parallel f{\parallel }_Y\backslash lVert\; u\backslash rVert\_X\backslash le\; C\backslash lVert\; f\backslash rVert\_Y$. Les symboles X et Y indiquent les espaces et donc les normes employées.

Le choix de la norme est essentiel : une borne sur la valeur de u, sur ses dérivées ou sur son énergie ne donne pas la même information. La constante peut dépendre du domaine, des coefficients de l'équation et des conditions au bord, mais pas de la solution inconnue ni de l'étape d'une approximation que l'on veut faire converger.

Dans une preuve d'existence, on établit souvent cette borne pour des solutions approchées. Une propriété de compacité peut alors fournir une sous-suite convergente dont la limite résout le problème. Dans une méthode de continuité, une borne uniforme empêche la branche de solutions de s'échapper. Dans un argument de point fixe, elle aide à enfermer l'opérateur dans un ensemble borné. L'unicité demande généralement une estimation appliquée à la différence de deux solutions ; elle ne découle pas de toute majoration prise isolément. La théorie de Schauder organise précisément ce passage entre estimations, régularité, compacité et existence.

Sur l'intervalle de 0 à 1, considérons le problème au bord où l'opposé de la dérivée seconde d'une fonction inconnue u vaut une donnée f, et où u vaut 0 aux deux extrémités. Supposons seulement qu'une solution assez régulière existe pour effectuer les calculs.

Données : l'intervalle est [0, 1] ; les valeurs au bord sont nulles ; la donnée est $f(x)={\pi }^2\sin (\pi x)f(x)=\backslash pi^2\backslash sin(\backslash pi\; x)$. La norme utilisée est la norme quadratique, obtenue en intégrant le carré puis en prenant la racine carrée.

1. Multiplions l'équation par u et intégrons. Les valeurs nulles au bord donnent, par intégration par parties :
2. L'inégalité de Cauchy-Schwarz majore le membre de droite par le produit des normes de f et de u.
3. Pour une fonction nulle aux deux extrémités, l'inégalité de Poincaré donne $\parallel u{\parallel }_2\le \frac{1}{\pi }\parallel u^{\mathrm{\prime }}{\parallel }_2\backslash lVert\; u\backslash rVert\_2\backslash le\backslash frac\{1\}\{\backslash pi\}\backslash lVert\; u\text{'}\backslash rVert\_2$.
4. En combinant puis en simplifiant, on obtient la majoration a priori : $\parallel u^{\mathrm{\prime }}{\parallel }_2\le \frac{1}{\pi }\parallel f{\parallel }_2\backslash lVert\; u\text{'}\backslash rVert\_2\backslash le\backslash frac\{1\}\{\backslash pi\}\backslash lVert\; f\backslash rVert\_2$.

Ici, $\parallel f{\parallel }_2=\frac{{\pi }^2}{\sqrt{2}}\backslash lVert\; f\backslash rVert\_2=\backslash frac\{\backslash pi^2\}\{\backslash sqrt\{2\}\}$, donc toute solution admissible vérifie $\parallel u^{\mathrm{\prime }}{\parallel }_2\le \frac{\pi }{\sqrt{2}}\backslash lVert\; u\text{'}\backslash rVert\_2\backslash le\backslash frac\{\backslash pi\}\{\backslash sqrt\{2\}\}$. Pour contrôler le calcul, la fonction $u(x)=\sin (\pi x)u(x)=\backslash sin(\backslash pi\; x)$ satisfait bien l'équation et les valeurs au bord ; sa dérivée a exactement la norme $\pi \mathrm{/}\sqrt{2}\backslash pi/\backslash sqrt\{2\}$. L'égalité est donc atteinte dans cet exemple.

Pour construire une solution par approximations, on cherche une borne indépendante du nombre d'étapes. Si cette borne donne la compacité nécessaire, une sous-suite peut converger. Sans uniformité, les approximations peuvent grandir et la compacité ne s'applique plus.

Dans la méthode de continuité, on relie un problème déjà résolu au problème visé par un paramètre. Une estimation valable pour toutes les valeurs du paramètre empêche une perte de contrôle. Si la constante explose à une valeur intermédiaire, il faut renforcer les hypothèses ou changer de norme.

Pour établir l'unicité, on applique une estimation à la différence de deux solutions ayant les mêmes données. Si l'estimation force cette différence à avoir une norme nulle, les solutions coïncident. Une simple borne non nulle sur chaque solution ne suffit pas à ce verdict.

Majoration a priori et solution explicite. Une formule explicite donne directement la solution, tandis qu'une majoration ne donne qu'une borne que toute solution éventuelle doit respecter. Dans l'exemple au bord, l'inégalité sur la norme de la dérivée est déjà une estimation a priori ; la formule sinusoïdale n'intervient qu'au contrôle.

Majoration a priori et estimation a posteriori. La première dépend des données du problème, sans utiliser une solution déjà calculée. La seconde évalue une erreur après un calcul approché, souvent grâce à un résidu observable. Si la quantité à borner exige les valeurs de l'approximation obtenue, le contrôle est a posteriori.

Majoration et maximum. Une majoration de norme contrôle une taille globale choisie ; elle ne fournit pas nécessairement la plus grande valeur ponctuelle de la fonction. Une borne quadratique peut rester vraie alors qu'un contrôle uniforme exige des hypothèses de régularité supplémentaires.

Une borne ne prouve pas seule l'existence. Le symptôme est une estimation correcte sans procédé fournissant une limite qui satisfait l'équation. Il faut encore un argument adapté, par exemple de compacité, de point fixe ou de continuité, avec ses propres hypothèses.

La constante doit rester uniforme. Si une famille d'approximations vérifie une borne dont la constante tend vers l'infini, elle n'est pas contrôlée uniformément. Dans l'exemple, une constante indépendante de l'approximation est nécessaire ; il faut sinon choisir une estimation plus forte ou restreindre les données.

Le cas de norme nulle est charnière. Une norme égale à 0 signifie que la fonction est nulle au sens de l'espace considéré. Pour l'unicité, l'estimation de la différence doit conduire à 0, pas seulement à une petite valeur positive. Si le problème possède un noyau non nul, il faut ajouter une normalisation ou travailler modulo ce noyau.

Changer de norme change la conclusion. Une borne d'énergie ne contrôle pas automatiquement toutes les dérivées ni les valeurs ponctuelles. Le symptôme est un passage injustifié d'une norme à une autre. Il faut invoquer une inégalité de plongement valable dans la dimension et avec la régularité du problème.

La fiche norme précise la mesure de taille qui est au cœur de toute majoration a priori.

La fiche compacité - topologie - éclaire le mécanisme qui extrait une sous-suite convergente d'une famille convenablement contrôlée.

La fiche théorème du point fixe présente une autre voie d'existence à laquelle les bornes a priori peuvent contribuer.