AnalyseThéorème · Glossaire
Schauder (théorème du point fixe de)
Le théorème du point fixe de Schauder est une généralisation du théorème de Brouwer aux espaces de dimension infinie. Il affirme que toute application continue d'un convexe compact non vide d'un espace de Banach dans lui-même possède au moins un point fixe. Une version plus générale, le théorème de Schauder-Tikhonov, s'applique aux espaces localement convexes. Ce théorème est un outil puissant pour prouver l'existence de solutions d'équations différentielles et d'équations intégrales non linéaires.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les quatre hypothèses principales du théorème de Schauder.
- Vérifier un point fixe exact sur une famille compacte convexe de fonctions.
- Distinguer l'existence d'une solution de son unicité et de son calcul.
- Situer Schauder par rapport à Brouwer et à Schauder-Tikhonov.
En clair
Imaginez un ensemble de formes que l'on peut déformer continûment, sans jamais sortir de cet ensemble. Le théorème de Schauder garantit qu'au moins une forme reste exactement inchangée par la déformation. Cette forme est un point fixe.
L'ensemble doit être non vide, convexe et compact. La transformation doit être continue et renvoyer chaque élément dans ce même ensemble. Le résultat assure une existence, mais ne dit ni que le point fixe est unique, ni comment le trouver.
Définition
Soit un espace de Banach, c'est-à-dire un espace vectoriel normé complet, et soit C une partie non vide, convexe et compacte de cet espace. Une application T de C dans C est dite continue lorsqu'une petite variation de son entrée entraîne une petite variation de sa sortie. Le théorème de Schauder affirme alors qu'il existe un élément x de C tel que . Cet élément est un point fixe de T.
La convexité signifie que tout segment joignant deux éléments de C reste dans C. La compacité empêche les suites d'éléments de s'échapper sans qu'une sous-suite converge dans C. En dimension infinie, cette hypothèse est nettement plus forte que le simple fait d'être fermé et borné. Schauder étend ainsi le mécanisme du théorème de Brouwer au cadre des espaces de Banach. Le théorème de Schauder-Tikhonov en donne une version dans des espaces localement convexes.
Le principe
Soit C une partie non vide, convexe et compacte d'un espace de Banach. Si une application continue T envoie C dans lui-même, alors T admet au moins un point fixe dans C.
Autrement dit, sous ces hypothèses, l'équation possède au moins une solution x appartenant à C. La conclusion porte seulement sur l'existence : plusieurs solutions peuvent coexister.
Quand l'utiliser
L'ensemble C doit d'abord être non vide, convexe et compact dans un espace de Banach. Il faut ensuite vérifier que T est définie sur tout C, que T(x) appartient encore à C pour chaque élément x, et que T est continue. Une fois ces points établis, un point fixe existe dans C.
Un ensemble seulement fermé et borné ne suffit pas en dimension infinie : il peut ne pas être compact, et ce théorème ne s'applique alors pas. De même, si une valeur de T sort de C, l'application n'est plus une auto-application de l'ensemble. Il faut dans ce cas choisir un autre ensemble invariant ou employer un résultat adapté à d'autres hypothèses.
Un exemple, pas à pas
On travaille dans l'espace de Banach des fonctions continues sur l'intervalle [0,1], muni de la norme du maximum. Pour chaque nombre réel a compris entre 0 et 1, on note fa la fonction définie par . L'ensemble C de ces fonctions est un segment non vide, convexe et compact.
Données. L'application T transforme fa en f(a+1)/2. Comme 0 ≤ a ≤ 1, le nouveau paramètre reste entre 0 et 1. L'application renvoie donc C dans lui-même et dépend continûment de a.
1. Un point fixe doit conserver son paramètre.
2. Il faut donc résoudre l'équation .
3. En multipliant par 2, on obtient 2a = a + 1, puis a = 1.
4. Le point fixe est la fonction f1, donnée par .
2. Il faut donc résoudre l'équation .
3. En multipliant par 2, on obtient 2a = a + 1, puis a = 1.
4. Le point fixe est la fonction f1, donnée par .
Le contrôle est direct : T(f1) = f(1+1)/2 = f1. La figure met en évidence le déplacement des paramètres vers 1 et l'immobilité de cette fonction.
En pratique
Pour une équation différentielle non linéaire, on peut reformuler le problème sous la forme « une fonction est transformée en elle-même ». Le travail consiste alors à construire un ensemble convexe compact de fonctions que l'opérateur laisse invariant, puis à établir sa continuité.
La même démarche intervient pour des équations intégrales non linéaires. Schauder est pertinent quand l'objectif prioritaire est de prouver qu'une solution existe. Si l'on doit aussi garantir l'unicité ou obtenir une procédure de calcul convergente, il faut rechercher des hypothèses supplémentaires ou un autre théorème de point fixe.
À ne pas confondre
Avec le théorème de Brouwer. Brouwer traite un cadre de dimension finie, tandis que Schauder étend l'existence d'un point fixe à certains ensembles compacts convexes d'espaces de Banach, y compris en dimension infinie. Dans un compact convexe de dimension finie, Brouwer est le repère naturel ; dans un espace fonctionnel de dimension infinie, Schauder est l'extension pertinente.
Avec le théorème de Schauder-Tikhonov. La version présentée ici suppose un espace de Banach. Schauder-Tikhonov élargit le cadre aux espaces localement convexes. Le type d'espace ambiant permet donc de trancher entre les deux formulations.
Limites et pièges
Existence ne signifie pas unicité. Si l'application est l'identité sur C, chaque élément est un point fixe. Le symptôme est l'absence d'une hypothèse séparant deux solutions ; il faut une condition supplémentaire pour conclure à l'unicité.
Fermé et borné ne signifie pas toujours compact. Cette équivalence familière en dimension finie échoue en général dans un espace de Banach de dimension infinie. Si seule la bornitude est démontrée, la vérification des hypothèses est incomplète : il faut établir la compacité de C ou recourir à une variante adaptée.
L'invariance est indispensable. Une application continue peut envoyer un élément de C hors de C. Dans ce cas, l'équation de point fixe n'entre pas dans l'énoncé de Schauder sur cet ensemble ; il faut trouver un ensemble convexe compact réellement invariant.
Le théorème n'est pas un algorithme. Il garantit au moins une solution sans fournir automatiquement une suite qui la calcule. Une approximation numérique exige une méthode distincte et une analyse propre de sa convergence.
Pour aller plus loin
Le glossaire théorème du point fixe replace Schauder dans la famille des résultats où une transformation laisse au moins un objet inchangé.
La fiche espace de Banach précise le cadre complet dans lequel s'énonce la version étudiée ici.
Le portrait Brouwer Luitzen Egbertus Jan donne accès au mathématicien associé au résultat de dimension finie généralisé par Schauder.
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