Logique et ensemblesNotion · Glossaire
Brouwer Luitzen Egbertus Jan
Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966), mathématicien et logicien néerlandais. Fondateur de l'intuitionnisme en logique mathématique — courant qui rejette le principe du tiers exclu et n'admet que les objets mathématiques effectivement construits — il est aussi l'un des pères de la topologie moderne. Son théorème du point fixe (1910), affirmant que toute application continue d'une boule fermée non vide d'un espace vectoriel réel de dimension finie dans elle-même admet un point fixe, est l'un des résultats les plus profonds de la topologie.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier Brouwer comme mathématicien et logicien néerlandais.
- Relier l'intuitionnisme au constructivisme des objets et au rejet du tiers exclu.
- Énoncer les hypothèses et la conclusion du théorème du point fixe.
- Vérifier un point fixe sur l'intervalle fermé [−1, 1].
- Distinguer existence, unicité et calcul effectif d'un point fixe.
En clair
En 1910, le mathématicien et logicien néerlandais Luitzen Egbertus Jan Brouwer formule son théorème du point fixe. Imaginez que chaque point d'une boule fermée non vide, située dans un espace réel de dimension finie, soit déplacé sans rupture, tout en restant dans cette boule. Le théorème assure qu'au moins un point ne bouge pas.
Brouwer est aussi le fondateur de l'intuitionnisme. Ce courant de logique mathématique exige que les objets admis soient effectivement construits et rejette le principe du tiers exclu. Ces deux apports expliquent sa place dans la logique et la topologie modernes.
Définition
Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) est un mathématicien et logicien néerlandais. Son œuvre mentionnée ici relève de deux domaines distincts : la logique mathématique et la topologie. En logique, il fonde l'intuitionnisme. Ce courant n'admet que les objets mathématiques effectivement construits et rejette le principe du tiers exclu.
En topologie, Brouwer est l'un des pères du domaine moderne. Son théorème du point fixe, daté de 1910, porte sur une boule fermée non vide d'un espace vectoriel réel de dimension finie et sur une application continue qui envoie cette boule dans elle-même. Un point fixe est un point dont l'image par l'application est le point lui-même. Si la lettre f désigne l'application et la lettre x un point, cette condition s'écrit .
Le théorème affirme l'existence d'au moins un tel point. Il ne fournit pas, dans cet énoncé, une procédure pour le construire ni une garantie d'unicité. Le cadre d'un espace vectoriel réel de dimension finie, la non-vacuité et la fermeture de la boule, la continuité et le fait que l'application reste dans cette boule appartiennent tous aux hypothèses.
Un exemple, pas à pas
Considérons l'intervalle fermé [−1, 1], qui est une boule fermée en dimension un. L'application choisie associe à chaque nombre sa moitié. Les données sont donc l'intervalle [−1, 1] et la règle .
1. L'application est continue sur l'intervalle.
2. Si le nombre x est compris entre −1 et 1, sa moitié est comprise entre −1/2 et 1/2. L'image reste donc dans [−1, 1].
3. Un point fixe doit vérifier l'équation suivante : . En soustrayant la moitié de x aux deux membres, on obtient d'abord x/2 = 0, puis, en multipliant par 2, x = 0.
4. Le contrôle est direct : la moitié de 0 vaut 0. Le point 0 appartient bien à [−1, 1] et ne change pas sous l'application. La figure matérialise ce contrôle par l'unique intersection des graphes.
En pratique
Pour chercher un point fixe dans un exemple concret, on vérifie d'abord quatre éléments : l'espace vectoriel est réel et de dimension finie, le domaine est une boule fermée non vide, l'application est continue et toutes ses images restent dans la boule. Si l'un manque, cet énoncé du théorème de Brouwer ne permet pas de conclure.
Pour contrôler un candidat, on calcule son image. Le candidat est un point fixe exactement lorsque l'image obtenue coïncide avec lui ; dans l'exemple de l'intervalle [−1, 1], ce test valide 0.
Pour situer Brouwer dans l'histoire des mathématiques, le sujet donne deux entrées complémentaires. L'intuitionnisme concerne les objets et raisonnements admis en logique mathématique, tandis que le point fixe relève de la topologie.
À ne pas confondre
L'intuitionnisme et le théorème du point fixe sont deux apports de Brouwer, pas deux noms d'une même idée. Le premier porte ici sur les objets et principes admis en logique mathématique ; le second garantit un point invariant pour certaines applications continues.
Un point fixe n'est pas un point imposé à l'avance. Il dépend de l'application considérée : pour l'application qui associe à chaque nombre sa moitié sur [−1, 1], l'égalité entre le nombre et son image s'obtient en 0.
Limites et pièges
Le théorème cité exige une application continue d'une boule fermée non vide d'un espace vectoriel réel de dimension finie dans elle-même. Si une image sort de la boule, le symptôme est immédiat : l'application n'a plus le domaine d'arrivée requis. Il faut alors employer un autre résultat ou modifier le cadre.
L'existence d'un point fixe ne signifie pas son unicité. L'application qui laisse chaque point inchangé est continue et envoie la boule dans elle-même, mais tous ses points sont fixes. Il faut une hypothèse supplémentaire pour conclure qu'il n'y en a qu'un.
Le théorème garantit qu'un point fixe existe, mais l'énoncé fourni ne donne pas de méthode générale pour le calculer. Dans un cas simple, on peut résoudre l'équation qui exprime l'égalité entre un point et son image ; cette résolution appartient à l'exemple, pas à la garantie d'existence elle-même.
Dire que l'intuitionnisme rejette le principe du tiers exclu ne suffit pas à décrire toute sa logique. La source en donne deux traits seulement : ce rejet et l'exigence d'objets effectivement construits. Toute présentation plus exhaustive demande un prolongement consacré à ce courant.
Pour aller plus loin
Trois notions du glossaire permettent de déployer séparément les apports logiques et topologiques présentés dans ce portrait.
Intuitionnisme approfondit le courant logique fondé par Brouwer et sa conception des objets mathématiques.
Principe du tiers exclu précise le principe logique dont l'intuitionnisme refuse l'usage général.
théorème du point fixe développe le résultat topologique associé à Brouwer, ses hypothèses et sa conclusion.
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