infini

Commencez à compter : 0, 1, 2, 3… Quel que soit le dernier entier prononcé, on peut toujours lui ajouter 1. Cette poursuite sans dernière étape donne l'intuition de l'infini potentiel.

On peut aussi considérer tous les entiers naturels comme un ensemble déjà constitué. C'est l'infini actuel. Le contraste porte donc sur le regard adopté : un processus toujours prolongeable, ou une totalité mathématique sur laquelle on raisonne.

L'infini potentiel désigne un processus que l'on peut poursuivre indéfiniment sans atteindre une dernière étape. L'infini actuel traite au contraire une collection infinie comme un tout achevé. Cette opposition, déjà formulée par Aristote, a été approfondie par Bernard Bolzano, Richard Dedekind, Georg Cantor et Luitzen Egbertus Jan Brouwer.

Un ensemble E est dit infini au sens de Dedekind lorsqu'il peut être mis en bijection avec un sous-ensemble strict F de E. Une bijection associe à chaque élément de E un unique élément de F, et chaque élément de F est atteint exactement une fois. Le critère s'écrit $F⊊E\text{et}\mathrm{\exists }f:E\to F\text{ bijective}F\backslash subsetneq\; E\backslash quad\backslash text\{et\}\backslash quad\backslash exists\; f:E\backslash to\; F\backslash text\{\; bijective\}$. Un ensemble fini ne peut pas le satisfaire ; dans la théorie usuelle des ensembles avec l'axiome du choix, ce critère équivaut à ne pas être fini.

Dans la présentation philosophique de Brouwer retenue ici, l'infini est envisagé comme potentiel. Cette position ne découle pas à elle seule de la logique intuitionniste. Le théorème de l'éventail affirme notamment que, pour une fonction constructivement continue de l'espace des suites binaires vers les entiers naturels, il existe une borne uniforme sur le nombre de termes nécessaires pour déterminer sa valeur. À chaque instant, seules des données finies sont donc effectivement accessibles.

Considérons l'ensemble N des entiers naturels 0, 1, 2, 3, etc., et son sous-ensemble P formé des entiers pairs. Les données sont : N commence par 0 ; P contient 0, 2, 4, 6, etc. ; P est strictement inclus dans N puisque 1 appartient à N mais pas à P.

1. À chaque entier naturel n, associons l'entier pair 2n. La fonction utilisée est $f:\mathbb{N}\to P,f(n)=2nf:\backslash mathbb\{N\}\backslash to\; P,\backslash quad\; f(n)=2n$.

2. Deux entiers différents ont des doubles différents : aucune valeur de P n'est associée deux fois. Réciproquement, tout entier pair p s'écrit p = 2n pour un entier naturel n : chaque élément de P est atteint. La correspondance est donc bijective.

3. Puisque P est un sous-ensemble strict de N et qu'une bijection relie N à P, le critère classique conclut que N est infini. Pour contrôler la règle, les cinq premières images sont 0, 2, 4, 6 et 8 ; la figure les montre sans prétendre remplacer la preuve valable pour tout n.

Pour montrer qu'un ensemble est infini au sens de Dedekind, on peut chercher une bijection avec l'un de ses sous-ensembles stricts. Pour N, la règle n ↦ 2n fournit directement ce témoin. Dans la théorie usuelle avec l'axiome du choix, cela prouve aussi que l'ensemble n'est pas fini. Si une telle correspondance n'est pas disponible, l'absence de cet exemple ne prouve pas que l'ensemble est fini.

Lorsqu'un raisonnement décrit une construction étape après étape, le bon geste consiste à demander si chaque étape est finie et si une suivante reste toujours possible. Ce critère signale un infini potentiel plutôt qu'une collection infinie donnée d'un seul bloc.

Dans un texte mathématique, il faut enfin identifier le cadre logique annoncé. Un argument classique peut traiter un ensemble infini comme une totalité ; un raisonnement intuitionniste exige une construction fondée sur des informations finies effectivement accessibles.

Infini et nombre très grand. Un entier, aussi grand soit-il, reste fini : on peut lui ajouter 1 et obtenir un autre entier fini. L'infini ne désigne donc pas le dernier nombre d'une liste très longue.

Ensemble infini et ensemble non borné. Être infini concerne le nombre d'éléments ; être non borné concerne leur taille dans un espace ordonné ou mesuré. L'intervalle réel [0, 1] contient une infinité de nombres tout en restant borné.

Une portion dessinée n'établit pas une bijection infinie. Voir 0 → 0, 1 → 2 et quelques flèches suivantes suggère la règle, mais ne la prouve pas. Il faut donner une formule valable pour tout entier et vérifier qu'elle atteint chaque pair une seule fois.

Un sous-ensemble strict n'est pas automatiquement plus petit au sens cardinal. Pour un ensemble fini, retirer au moins un élément diminue le nombre d'éléments. Pour N, le sous-ensemble strict des pairs reste en bijection avec N ; ce phénomène établit que N est infini au sens de Dedekind. Dans la théorie usuelle avec l'axiome du choix, cette notion équivaut à ne pas être fini.

Le symbole ∞ n'autorise pas les calculs ordinaires d'un nombre réel. Son sens dépend du contexte. Avant toute manipulation, il faut déterminer s'il indique une limite, une absence de borne ou une notion de taille infinie.

Le cadre logique fait partie de l'énoncé. La formalisation classique de l'infini actuel et l'approche intuitionniste de l'infini potentiel ne reposent pas sur les mêmes principes. Il faut annoncer le cadre avant de transporter un argument de l'un à l'autre.

Bijection précise le type de correspondance utilisé pour comparer un ensemble infini à l'un de ses sous-ensembles stricts.

Dénombrable prolonge l'exemple des entiers en expliquant quelles collections infinies peuvent être énumérées.

Principe du tiers exclu éclaire la différence logique entre le cadre classique et l'approche intuitionniste mentionnée dans cette fiche.

La multiplicité des infinis ouvre sur la comparaison des tailles infinies au-delà du seul ensemble des entiers naturels.