aleph

Imaginez deux rangées qui ne finissent jamais. La première porte les entiers 0, 1, 2, 3… ; la seconde, les entiers pairs 0, 2, 4, 6… Chaque nombre de la première rangée peut être associé à son double dans la seconde, sans oubli ni doublon.

Les deux rangées ont donc la même taille infinie, même si la seconde semble moins fournie. Cette taille se note ℵ₀, « aleph zéro ». Les symboles aleph servent à nommer les différentes tailles infinies.

Un cardinal exprime la taille d'un ensemble. Deux ensembles ont le même cardinal lorsqu'il existe entre eux une bijection : chaque élément du premier correspond à un unique élément du second, et réciproquement. La lettre hébraïque aleph, notée ℵ, sert à désigner des cardinaux infinis.

Le symbole ℵ₀, lu « aleph zéro », est le plus petit cardinal infini. C'est le cardinal de l'ensemble des entiers naturels. Un ensemble est dénombrable au sens infini lorsqu'il peut être mis en bijection avec ces entiers. Le symbole ℵ₁ désigne ensuite le plus petit cardinal strictement supérieur à ℵ₀.

Plus généralement, une lettre grecque alpha, notée α, peut indexer la famille des alephs ; cet indice est un ordinal. Le cardinal ℵ_α est alors le cardinal infini placé au rang α dans l'ordre des cardinaux bien ordonnables. Avec l'axiome du choix, toute cardinalité infinie est représentée par un aleph ; sans cet axiome, cette conclusion ne vaut pas pour tout ensemble.

Comparons l'ensemble des entiers naturels ℕ à l'ensemble E des entiers naturels pairs. Nous adoptons ici la convention ℕ = {0, 1, 2, 3…}.

Données :
ℕ contient 0, 1, 2, 3… ;
E contient 0, 2, 4, 6… ;
à tout entier naturel n, on associe son double.

1. Définir l'application f sur ℕ par la formule suivante :2. Associer ainsi 0 à 0, 1 à 2, 2 à 4 et 3 à 6.
3. Constater que deux entiers naturels différents ont des doubles différents.
4. Pour tout nombre pair de E, le diviser par 2 afin de retrouver son unique antécédent dans ℕ.

L'application f est donc une bijection. Le contrôle se refait dans les deux sens : doubler envoie toujours dans E, puis diviser ce nombre pair par 2 rend l'entier de départ. Les deux ensembles ont ainsi le cardinal ℵ₀, bien que E soit une partie stricte de ℕ.

Pour comparer deux ensembles infinis, on cherche une bijection plutôt que de tenter d'en compter les éléments jusqu'au bout. Une règle réversible qui associe chaque entier naturel à son double prouve l'égalité des cardinaux.

Pour reconnaître un ensemble infini dénombrable, on essaie d'en dresser une liste indexée par 0, 1, 2, 3… Si aucun dénombrement n'est possible, alors, dans le cadre usuel de la théorie des ensembles avec l'axiome du choix, l'ensemble a un cardinal strictement supérieur à ℵ₀.

Dans un raisonnement, l'écriture ℵ_α indique une position dans la hiérarchie des cardinaux infinis. Si le problème concerne plutôt l'ordre des éléments, un ordinal est l'outil adapté : la seule taille ne conserve pas cet ordre.

Aleph et la lettre hébraïque. Aleph est d'abord le nom de la première lettre de l'alphabet hébraïque. En théorie des ensembles, cette lettre devient une notation mathématique lorsqu'elle porte un indice, comme dans ℵ₀.

Cardinal et ordinal. Un cardinal répond à la question « combien d'éléments ? », tandis qu'un ordinal décrit une position ou un type d'ordre. Deux ensembles ordonnés différemment peuvent donc avoir le même cardinal.

ℵ₀ et le symbole ∞. ℵ₀ nomme une cardinalité précise, celle des entiers naturels. Le symbole ∞ signale plus largement une absence de borne ou un comportement infini ; il ne distingue pas, à lui seul, les tailles d'ensembles.

Une inclusion stricte ne suffit plus. Pour des ensembles finis, retirer un élément diminue la taille. Pour des ensembles infinis, l'ensemble E des entiers naturels pairs est strictement inclus dans ℕ, mais l'association de chaque entier à son double montre que tous deux ont le cardinal ℵ₀.

La convention de départ ne change pas le cardinal. Certains auteurs commencent les entiers naturels à 1 plutôt qu'à 0. Il faut alors ajuster la liste ou la bijection, sans changer la conclusion : le cardinal reste ℵ₀.

L'indice n'est pas un multiplicateur. Dans ℵ₁, l'indice 1 repère le cardinal suivant ℵ₀ ; il ne signifie ni « une fois l'infini » ni une addition ordinaire. Il faut lire l'indice comme un rang ordinal.

Le cardinal du continu ne s'identifie pas automatiquement à ℵ₁. L'ensemble des réels a une cardinalité strictement supérieure à ℵ₀. Affirmer qu'elle vaut ℵ₁ revient à adopter l'hypothèse du continu, qui n'est pas une conséquence des axiomes usuels de la théorie des ensembles.

La fiche Dénombrable approfondit les ensembles que l'on peut mettre en correspondance avec les entiers naturels.

Le glossaire infini replace les cardinaux transfinis parmi les différentes façons de penser ce qui ne s'arrête pas.

L'article Georg Cantor : passer du fini à l'infini situe la notation aleph dans le travail de Cantor sur les infinis.