Hypothèse du continu

Imaginez que l’on veuille comparer deux collections infinies. Les entiers naturels 0, 1, 2, 3… peuvent être énumérés un à un. Les nombres réels forment un infini plus grand : une telle énumération ne les épuise pas.

L’hypothèse du continu affirme qu’entre ces deux tailles, il n’existe aucune taille infinie intermédiaire. Un ensemble infini de nombres réels serait donc soit énumérable comme les entiers, soit aussi grand que l’ensemble de tous les réels.

Le cardinal d’un ensemble mesure sa taille, y compris lorsque l’ensemble est infini. Le cardinal de l’ensemble des entiers naturels se note ℵ₀. Le cardinal de l’ensemble des réels, appelé cardinal du continu, se note 𝔠. Il vaut aussi $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}2^\{\backslash aleph\_0\}$.

L’hypothèse du continu affirme qu’aucun cardinal ne se place strictement entre ces deux cardinaux. Elle s’écrit : . De manière équivalente, tout sous-ensemble infini des réels est soit dénombrable, donc de cardinal ℵ₀, soit équipotent à l’ensemble des réels, donc de cardinal 𝔠. Deux ensembles sont équipotents lorsqu’une bijection associe exactement un élément de l’un à chaque élément de l’autre.

Cantor a formulé cette hypothèse en 1878. Gödel en 1940 et Cohen en 1963 ont établi son indépendance vis-à-vis de ZFC, le système usuel d’axiomes de la théorie des ensembles. Autrement dit, si ZFC est cohérent, ces axiomes ne permettent ni de démontrer l’hypothèse du continu ni de démontrer sa négation. La figure rend visible le saut cardinal qu’elle affirme entre ℵ₀ et 𝔠.

Prenons A, l’ensemble des entiers naturels pairs 0, 2, 4, 6…, considéré comme un sous-ensemble des réels. Cet ensemble explicitement nommé permet de refaire entièrement la branche dénombrable du classement.

Étape 1. À chaque entier naturel n, associons l’entier pair 2n. Chaque élément de A est ainsi atteint une fois et une seule : cette correspondance est une bijection. A est donc dénombrable et son cardinal vaut ℵ₀, sans qu’il soit nécessaire d’invoquer l’hypothèse du continu.

Étape 2. Pour l’autre branche, considérons un sous-ensemble infini B des réels dont on a établi qu’il ne peut pas être mis en bijection avec les entiers naturels. Le cardinal de B est alors strictement supérieur à ℵ₀. Comme B est inclus dans les réels, il ne dépasse pas 𝔠.

Étape 3. Sous l’hypothèse du continu, tout cardinal intermédiaire est exclu. Il reste donc $\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mathfrak{c}|B|=\backslash mathfrak\; c$ : B a autant d’éléments que l’ensemble des réels.

Le contrôle distingue bien les deux issues : A illustre par une bijection la branche de cardinal ℵ₀ ; pour B, la conclusion de cardinal 𝔠 reste conditionnelle à la preuve de sa non-dénombrabilité et à l’hypothèse du continu. Toute troisième taille contredirait précisément cette hypothèse.

Pour classer un sous-ensemble infini des réels, on cherche d’abord une énumération par les entiers naturels. Lorsqu’une telle bijection existe, l’ensemble est dénombrable et l’hypothèse du continu n’est pas nécessaire.

Si l’ensemble n’est pas dénombrable, l’hypothèse du continu permettrait de conclure qu’il a le cardinal des réels. Sans cette hypothèse, il faut établir sa taille par un autre argument : l’inclusion dans les réels ne suffit pas.

Dans une démonstration fondée sur ZFC, il faut donc signaler explicitement tout emploi de l’hypothèse du continu. Son indépendance interdit de la présenter comme une conséquence automatique des axiomes usuels.

Cardinal du continu et hypothèse du continu. Le premier est la taille 𝔠 de l’ensemble des réels. La seconde affirme qu’aucun cardinal ne se trouve entre ℵ₀ et 𝔠. Nommer 𝔠 ne suppose donc pas l’hypothèse.

Indépendance et fausseté. Dire que l’hypothèse est indépendante de ZFC ne signifie pas que ZFC la réfute. Le critère décisif est la possibilité de la démontrer ou de démontrer sa négation à partir de ces seuls axiomes : aucune des deux voies n’aboutit, si ZFC est cohérent.

Axiome du choix et hypothèse du continu. ZFC comprend l’axiome du choix, mais celui-ci ne décide pas l’hypothèse du continu. Un raisonnement qui utilise cette dernière ajoute donc une hypothèse distincte.

Ensembles finis. L’énoncé porte sur les sous-ensembles infinis des réels. La présence d’un sous-ensemble de 2, 10 ou 1 000 éléments ne constitue donc ni un exemple ni un contre-exemple.

Inclusion trompeuse. Être inclus dans les réels garantit seulement un cardinal inférieur ou égal à 𝔠. Pour obtenir l’égalité avec 𝔠, il faut encore exclure le cas dénombrable et invoquer l’hypothèse du continu, ou fournir une bijection indépendante.

Infini ne signifie pas automatiquement indénombrable. Un sous-ensemble infini des réels peut avoir le cardinal ℵ₀. Le bon test consiste à chercher une bijection avec les entiers naturels avant de conclure.

Cadre axiomatique omis. Une conclusion conditionnelle à l’hypothèse du continu ne doit pas être annoncée comme un théorème de ZFC. Il faut préciser l’hypothèse ajoutée ou employer une preuve qui n’en dépend pas.

infini — Pour replacer les comparaisons de tailles au sein des différentes façons dont les mathématiques traitent l’infini.

Dénombrable — Pour approfondir le critère de mise en bijection avec les entiers naturels utilisé dans l’exemple.

axiome du choix — Pour distinguer cet axiome appartenant à ZFC de l’hypothèse du continu, qui reste indépendante de ZFC.