Puissance du continu

On peut numéroter les entiers naturels : 0, 1, 2, 3, puis continuer sans fin. Essayons maintenant de numéroter toutes les sélections possibles d'entiers. Pour toute liste proposée, on fabrique une nouvelle sélection qui contredit la première ligne sur 0, la deuxième sur 1, et ainsi de suite.

Cette sélection manque forcément dans la liste. Il existe donc plus de parties des entiers que d'entiers eux-mêmes. Leur taille infinie est aussi celle de l'ensemble des nombres réels : c'est la puissance du continu.

Le cardinal d'un ensemble exprime sa taille : deux ensembles ont le même cardinal lorsqu'une bijection associe chaque élément de l'un à un unique élément de l'autre, sans oubli. Le cardinal de l'ensemble ℕ des entiers naturels se note ℵ₀. Celui de l'ensemble ℝ des nombres réels se note c, la lettre évoquant le continu.

L'ensemble de toutes les parties de ℕ se note ℘(ℕ). Une partie correspond à une suite infinie de choix oui ou non, un choix pour chaque entier. Il a le même cardinal que ℝ. La puissance du continu possède donc les écritures équivalentes suivantes :Le symbole ℶ₁, lu beth-un, désigne par définition le cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble de cardinal ℵ₀.

Le théorème de Cantor affirme qu'un ensemble a toujours strictement moins d'éléments que son ensemble de parties. Il donne donc ℵ₀ < c et établit que ℝ n'est pas dénombrable. L'hypothèse du continu ajoute que c est le premier cardinal après ℵ₀, autrement dit c = ℵ₁. Cette affirmation n'est ni démontrable ni réfutable à partir des axiomes de ZFC, si ceux-ci sont cohérents.

Supposons que l'on prétende avoir numéroté toutes les parties des entiers naturels. La partie placée au rang n est notée A_n. Construisons une partie D qui échappe à cette liste.

Données :
les rangs sont 0, 1, 2, 3, … ;
A_n est la partie inscrite au rang n ;
pour chaque entier n, l'appartenance de n à A_n est connue.

1. Pour chaque entier n, placer n dans D exactement lorsque n n'appartient pas à A_n.2. Comparer D à une partie quelconque A_k de la liste.
3. Au rang k, D contient k exactement lorsque A_k ne le contient pas.
4. Conclure que D et A_k diffèrent au moins sur l'entier k.

Comme le raisonnement vaut pour tout rang k, D n'est égale à aucune partie listée. Le contrôle se refait ligne par ligne sur la diagonale : chaque choix est inversé. Aucune numérotation par les entiers ne peut donc épuiser ℘(ℕ), dont le cardinal est c.

Pour comparer un ensemble infini à ℕ, on cherche une numérotation qui attribue à chaque élément un rang entier. Si une telle bijection existe, l'ensemble est dénombrable ; l'alternative est de prouver qu'aucune liste ne peut être complète.

Pour reconnaître la taille du continu, on peut traduire chaque objet en une partie de ℕ, puis construire la traduction inverse. Deux correspondances injectives opposées ne suffisent pas visuellement, mais elles permettent d'établir l'égalité des cardinaux par le théorème de Cantor-Bernstein.

Face à une question sur l'hypothèse du continu, le bon geste consiste à séparer les résultats de ZFC de l'axiome supplémentaire éventuel. Le théorème de Cantor prouve toujours ℵ₀ < c ; l'égalité c = ℵ₁ dépend du cadre axiomatique choisi.

La puissance du continu est un cardinal précis, celui de ℝ. Un ensemble non dénombrable est seulement trop grand pour être mis en bijection avec ℕ : ℘(ℝ), par exemple, est non dénombrable et son cardinal est strictement supérieur à c.

Le théorème de Cantor prouve qu'un ensemble est strictement plus petit que son ensemble de parties. L'hypothèse du continu affirme autre chose : aucun cardinal ne se place entre ℵ₀ et c. Le premier résultat est un théorème de ZFC ; la seconde affirmation est indépendante de ZFC.

Les notations ℶ₁ et ℵ₁ ne sont pas synonymes par définition. ℶ₁ vaut toujours c, tandis que ℵ₁ désigne le plus petit cardinal non dénombrable. Elles sont égales exactement lorsque l'hypothèse du continu est admise.

Une liste très longue reste une liste. Montrer des milliards de réels ne rapproche pas d'une énumération complète. Le symptôme est un raisonnement fondé sur la quantité déjà écrite ; il faut plutôt établir une bijection ou produire un élément absent de toute liste proposée.

Indépendante ne signifie pas indécise par manque de technique. Dans ZFC, ni l'hypothèse du continu ni sa négation ne se déduisent des axiomes, sous l'hypothèse de leur cohérence. Il faut annoncer l'axiome supplémentaire retenu avant d'écrire c = ℵ₁ ou c > ℵ₁.

L'argument diagonal doit inverser le choix au bon rang. La partie D est construite avec n absent de A_n, et non avec un choix arbitraire. Cette inversion garantit que D diffère de chaque A_n ; sans elle, aucune contradiction n'est obtenue.

La notation dépend du rôle décrit. Écrire c = ℶ₁ identifie toujours la taille de ℘(ℕ). Écrire c = ℵ₁ incorpore l'hypothèse du continu ; sans cette hypothèse, seule l'inégalité ℵ₀ < c est assurée.

Le glossaire théorème de Cantor développe l'inégalité fondamentale entre un ensemble et son ensemble de parties.

La fiche Dénombrable précise ce que signifie numéroter entièrement un ensemble infini.

Le glossaire Hypothèse du continu examine l'affirmation c = ℵ₁ et son statut dans ZFC.

L'article Georg Cantor : passer du fini à l'infini replace les cardinaux infinis dans leur perspective mathématique.