Nombre transfini

Une file sans dernier élément peut pourtant être parcourue dans un ordre précis : premier, deuxième, troisième, et ainsi de suite. Les entiers naturels illustrent un ensemble infini que l'on peut énumérer. Même l'ensemble des nombres pairs, qui semble plus petit parce qu'il laisse de côté les impairs, peut être associé terme à terme aux entiers naturels : à chaque entier n correspond le pair 2n. Les nombres transfinis servent à distinguer ces tailles infinies et ces façons d'ordonner les éléments. Les cardinaux parlent de quantité ; les ordinaux parlent de succession.

Un nombre transfini décrit une structure infinie selon l'un de deux points de vue. Le cardinal mesure la taille d'un ensemble, c'est-à-dire la possibilité de mettre ses éléments en correspondance terme à terme avec ceux d'un autre ensemble. Le cardinal des entiers naturels est noté ℵ₀ ; on dit que cet ensemble est dénombrable. Le plus petit cardinal qui ne soit pas dénombrable est noté ℵ₁.

L'ordinal transfini décrit au contraire l'ordre dans lequel des éléments apparaissent. L'ordinal ω représente le type d'ordre des entiers naturels, sans dernier entier. Après tous les éléments de cet ordre, ω + 1 décrit un ordre qui possède un élément supplémentaire placé à la fin. Ces deux objets peuvent donc avoir une même taille tout en représentant des ordres différents.

La notation par aleph organise les cardinaux infinis : ℵ₀, ℵ₁, et ainsi de suite. Le continu fournit un autre niveau de taille. L'hypothèse du continu affirme que cette cardinalité est ℵ₁ ; cette affirmation concerne la relation entre deux cardinaux, non la distinction entre cardinal et ordinal.

On compare les entiers naturels et les entiers pairs. Les données sont les suivantes : les entiers naturels sont 0, 1, 2, 3, … ; les pairs sont 0, 2, 4, 6, … ; la règle choisie associe à chaque entier naturel n le nombre pair 2n.

La correspondance s'écrit $f(n)=2nf(n)=2n$. Ainsi, 0 est associé à 0, 1 à 2, 2 à 4 et 3 à 6.
Chaque image est bien paire, car elle est deux fois un entier naturel.
Tout entier pair possède une origine : si un pair vaut 2n, il provient de n.
La correspondance ne répète donc aucun pair et n'en oublie aucun.

Le résultat est que les deux ensembles ont le même cardinal transfini, ℵ₀, même si l'ensemble des pairs est inclus dans celui des entiers naturels. Le contrôle consiste à vérifier les deux sens de la correspondance : chaque entier fournit un pair, et chaque pair est retrouvé par la division exacte par 2.

Pour comparer deux ensembles infinis, on cherche d'abord une correspondance terme à terme. La règle n'a pas besoin de compter jusqu'à un dernier élément : il suffit de vérifier qu'elle associe chaque élément d'un ensemble à un seul élément de l'autre, dans les deux sens.

Pour parler de taille, on utilise un cardinal. Pour parler de l'ordre d'apparition, on utilise un ordinal. Le critère observable est la question posée : « combien d'éléments ? » appelle une comparaison de cardinaux ; « dans quel ordre ? » appelle une comparaison d'ordinaux.

Face à un ensemble infini présenté comme une liste, on vérifie que la liste possède une règle d'énumération claire. Une suite qui laisse des éléments de côté ne justifie pas une correspondance complète ; il faut alors changer de règle ou conclure que la comparaison n'est pas établie.

Cardinal et ordinal. Un cardinal répond à la question de la taille, tandis qu'un ordinal décrit un type d'ordre. Le test est de modifier l'ordre sans modifier les éléments : la taille peut rester ℵ₀, alors que l'ordre représenté change. Si l'on ajoute un élément final à cet ordre, on obtient un ordre de type ω + 1 ; cet ajout modifie alors l'ensemble considéré.

Infini et dénombrable. « Infini » signifie que l'ensemble n'est pas équipotent à un ensemble fini, tandis que « dénombrable » signifie qu'une correspondance avec les entiers naturels peut être établie. Un ensemble infini peut néanmoins avoir un élément final selon l'ordre choisi. L'ensemble des pairs est infini et dénombrable ; ces deux mots ne sont donc pas synonymes, mais le second précise une propriété supplémentaire.

Une inclusion ne mesure pas automatiquement une taille plus petite. Les entiers pairs sont contenus dans les entiers naturels, mais la correspondance n ↦ 2n montre qu'ils ont le même cardinal ℵ₀. Le bon réflexe consiste à chercher une correspondance bijective, plutôt qu'à comparer seulement les apparences de l'inclusion.

Un ordinal ne se lit pas comme un cardinal. ω + 1 décrit un ordre avec un élément final après une suite de type ω ; il ne signifie pas automatiquement une taille strictement supérieure à ℵ₀. Il faut préciser si l'on compare des types d'ordre ou des cardinaux.

L'hypothèse du continu est une affirmation précise. Elle affirme que le cardinal du continu est ℵ₁, où ℵ₁ est le plus petit cardinal non dénombrable. Elle ne dit pas que tous les ensembles infinis ont la même taille et ne remplace pas la distinction entre cardinaux et ordinaux.

Pour prolonger cette découverte, l'article Georg Cantor : passer du fini à l'infini replace les nombres transfinis dans le parcours de Cantor et aide à comprendre pourquoi la comparaison des infinis devient un problème mathématique à part entière.

Le nombre ordinal permet d'approfondir la différence entre mesurer une taille et décrire un ordre, notamment lorsque l'on compare ω et ω + 1.