ArithmétiqueNotion · Glossaire
nombre ordinal
Un nombre ordinal indique une position dans un ordre ; en théorie des ensembles, c’est un ensemble transitif sur lequel la relation d’appartenance est un bon ordre, c’est-à-dire que toute partie non vide possède un plus petit élément. Il formalise les rangs finis en comptant les prédécesseurs à partir de 0 : le troisième élément a l’indice ordinal 2, tandis qu’un ordre de quatre éléments a pour type l’ordinal 4. Il représente ainsi de façon canonique le type d’ordre de tout ensemble bien ordonné.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer le rang ordinal d’une quantité cardinale.
- Reconnaître les deux conditions qui définissent un ordinal en théorie des ensembles.
- Construire les premiers ordinaux et identifier successeur et ordinal limite.
En clair
Quatre personnes franchissent une ligne d’arrivée dans l’ordre Lucie, Milo, Noor, puis Ana. Dans la convention usuelle numérotée à partir de 1, dire que Noor est troisième ne compte pas les personnes : cela situe Noor dans la file. Ce rang usuel vaut 3. Formellement, Noor a deux prédécesseurs, donc son indice ordinal est 2, tandis que l’ordre complet des quatre arrivants a pour type l’ordinal 4. Ces nombres dépendent d’un ordre choisi.
Les ordinaux prolongent cette idée au-delà des listes finies. Ils servent alors à décrire la forme d’un ordre dans lequel toute sélection non vide possède un premier élément.
Définition
Dans une collection finie ordonnée, un nombre ordinal indique le rang usuel d’un objet, numéroté à partir de 1 : premier, deuxième, troisième, etc. Le rang n’existe qu’après le choix d’un ordre. Formellement, le troisième élément a deux prédécesseurs : son indice ordinal est donc 2, tandis qu’un ordre de quatre éléments a pour type l’ordinal 4. Cette lecture élémentaire est le cas fini d’une notion plus générale.
En théorie des ensembles, un ordinal est un ensemble α qui est transitif — chaque élément de α est aussi une partie de α — et que la relation d’appartenance met en bon ordre. Autrement dit, toute partie non vide de α possède un plus petit élément. Avec la convention où « inclus » autorise l’égalité, l’ordre des ordinaux α et β se lit . S’ils sont distincts, l’un appartient toujours à l’autre. Tout ensemble d’ordinaux est lui-même bien ordonné.
Dans cette construction ensembliste, 0 = ∅, 1 = {∅}, 2 = {∅, {∅}} et chaque ordinal fini rassemble tous ses prédécesseurs. Le successeur de α est α ∪ {α}, noté α+1. Un ordinal non vide qui n’est le successeur d’aucun ordinal est un ordinal limite ; le plus petit ordinal infini en est l’exemple canonique. Enfin, tout ensemble bien ordonné E est isomorphe, d’une manière unique qui respecte l’ordre, à un ordinal appelé ordinal de E.
Un exemple, pas à pas
Une course compte quatre arrivants.
Données : Lucie franchit la ligne avant Milo ; Milo avant Noor ; Noor avant Ana. Le sens de lecture va du premier au dernier. On cherche le rang de Noor.
Données : Lucie franchit la ligne avant Milo ; Milo avant Noor ; Noor avant Ana. Le sens de lecture va du premier au dernier. On cherche le rang de Noor.
1. On écrit l’ordre d’arrivée : Lucie, Milo, Noor, Ana.
2. On attribue les rangs usuels à partir de 1 : première, deuxième, troisième, quatrième.
3. Noor occupe la troisième position : son numéro de rang usuel est 3, mais elle a deux prédécesseurs et son indice ordinal est donc 2.
4. Dans la représentation ensembliste, l’ordinal 3 est {0, 1, 2} et décrit un ordre de trois éléments ; l’ordre complet des quatre arrivants a pour type l’ordinal 4.
2. On attribue les rangs usuels à partir de 1 : première, deuxième, troisième, quatrième.
3. Noor occupe la troisième position : son numéro de rang usuel est 3, mais elle a deux prédécesseurs et son indice ordinal est donc 2.
4. Dans la représentation ensembliste, l’ordinal 3 est {0, 1, 2} et décrit un ordre de trois éléments ; l’ordre complet des quatre arrivants a pour type l’ordinal 4.
Le résultat est donc troisième, et non « trois personnes ». Pour contrôler, on recompte les places depuis le début de l’ordre : Lucie vaut 1, Milo 2, Noor 3. Une représentation des quatre arrivées permet aussi de voir que le rang de Noor et l’effectif total répondent à deux questions différentes.
En pratique
Dans un classement numéroté à partir de 1, le rang répond à « à quelle place ? ». Pour Noor, on dit « troisième » et on note ce rang usuel 3. Son indice ordinal, qui compte ses prédécesseurs à partir de 0, est 2. Si la question est « combien de personnes sont arrivées ? », on emploie plutôt le cardinal : quatre ; l’ordre complet a, lui, pour type l’ordinal 4.
Dans une liste de tâches, un ordinal permet de désigner l’étape à exécuter après avoir fixé l’ordre. Si les tâches ne sont pas ordonnées, leur numéro n’exprime encore aucun rang.
En théorie des ensembles, on recherche l’ordinal d’un ensemble bien ordonné pour conserver toute sa structure d’ordre sous une forme canonique. Si l’ordre n’est pas un bon ordre, aucun ordinal ne peut lui être isomorphe.
À ne pas confondre
Ordinal et cardinal. L’ordinal indique une place dans un ordre ; le cardinal indique une quantité. Dans la course, Noor est troisième, tandis que l’ensemble des arrivants contient quatre personnes.
Rang et numéro d’identification. Un dossard peut porter le nombre 3 sans que son propriétaire soit troisième. Un rang dépend de l’ordre et peut changer si la modification de cet ordre déplace la personne considérée ; un identifiant peut rester fixe.
Ordre et bon ordre. Un ordre compare des éléments ; un bon ordre exige en plus que toute partie non vide ait un plus petit élément. Seul ce second cadre possède un ordinal qui en décrit exactement le type d’ordre.
Limites et pièges
Collection vide. L’ensemble vide représente l’ordinal 0, mais aucun objet n’y possède de rang. Il faut distinguer l’ordinal de la collection et la position d’un élément qui n’existe pas.
Ordre sans premier élément. Rangeons 1, 2, 3, … en ordre inverse, de sorte que chaque entier soit précédé par le suivant. Cette collection non vide n’a pas de premier élément. Il ne faut donc pas lui attribuer un ordinal comme type d’ordre sans changer l’ordre considéré.
Ordinal limite. Tous les ordinaux non nuls ne sont pas de la forme α+1. Le plus petit ordinal infini est non vide, mais il n’a pas de prédécesseur immédiat ; c’est précisément un ordinal limite.
Symbole d’inclusion. Selon les auteurs, ⊂ peut signifier « inclus » ou « strictement inclus ». Pour éviter l’ambiguïté, on écrit α ≤ β lorsque α ⊆ β, et α < β lorsque α ∈ β.
Pour aller plus loin
Le Bon ordre précise la propriété qui garantit un premier élément dans toute partie non vide.
Les Entiers naturels éclairent les premiers ordinaux et leur construction à partir de 0.
La fiche infini prolonge l’intuition au-delà des rangs finis et prépare l’étude du premier ordinal limite.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres