Entiers naturels

Posez douze jetons sur une table, puis comptez-les : 0 avant d'en poser, 1 après le premier, 2 après le deuxième, et ainsi de suite. Ces nombres servent à dire combien d'objets sont présents ou quelle place occupe un objet dans une suite.

Après chaque entier naturel vient un successeur : après 11 vient 12. On peut additionner ou multiplier ces nombres sans quitter leur ensemble. Selon la convention choisie, la liste commence à 0 ou à 1.

L'ensemble des entiers naturels est noté ℕ. Il contient les nombres utilisés pour compter : 0, 1, 2, 3, … Dans certaines conventions, ℕ commence à 1 ; il faut donc annoncer si 0 est inclus. Chaque naturel possède un successeur, obtenu en ajoutant 1.

L'addition et la multiplication de deux naturels donnent encore un naturel. Avec ces opérations et l'ordre usuel, ℕ est un semi-anneau ordonné : 0 est neutre pour l'addition, 1 est neutre pour la multiplication, et les opérations sont compatibles avec l'ordre. La soustraction, en revanche, n'est pas toujours possible dans ℕ : 3 − 5 n'est pas un entier naturel.

Les axiomes de Peano décrivent ℕ à partir de 0, de la fonction successeur et d'un principe de récurrence. En partant de 0 et en répétant le successeur, on obtient 1, puis 2, puis chaque naturel suivant. La récurrence permet de démontrer qu'une propriété vaut pour tous les naturels : on la vérifie d'abord pour 0, puis on montre que, si elle vaut pour un naturel, elle vaut aussi pour son successeur. Ces axiomes fondent l'arithmétique et permettent de définir l'addition puis la multiplication. Au sens des cardinaux, ℕ représente la plus petite taille infinie, appelée infini dénombrable.

Quatre boîtes contiennent chacune trois jetons. Les données sont donc : 4 boîtes et 3 jetons par boîte. Le nombre total recherché est un entier naturel.

1. On compte les groupes : 4.
2. On compte les jetons d'un groupe : 3.
3. On additionne quatre fois 3 : 3 + 3 + 3 + 3 = 12.
4. On écrit la même opération sous forme de multiplication : 4 × 3 = 12.

Il y a exactement 12 jetons. Pour contrôler le résultat, on redistribue les 12 jetons en 4 groupes égaux : chaque groupe en reçoit 3. Le schéma des quatre groupes rend visibles les données et le total sans changer d'ensemble de nombres.

Pour inventorier des objets distincts, on associe successivement 1, 2, 3, … à chaque objet et on conserve le dernier nombre annoncé. Si aucun objet n'est présent, 0 donne la quantité.

Pour répéter une même quantité, la multiplication remplace une addition répétée. Avec 4 boîtes de 3 jetons, 4 × 3 donne 12. Si les groupes n'ont pas tous la même taille, il faut additionner leurs contenus séparément.

Pour numéroter des positions, les naturels fournissent un ordre discret : premier, deuxième, troisième. La convention doit être précisée quand une liste informatique commence à l'indice 0 alors qu'un classement courant commence à 1.

Entiers naturels et entiers relatifs. Les entiers relatifs comprennent aussi les nombres négatifs. Le calcul 3 − 5 donne −2 : le résultat est relatif, mais pas naturel.

Naturel et rationnel. Un rationnel peut s'écrire comme quotient de deux entiers, avec un dénominateur non nul. Ainsi 3/4 est rationnel mais pas naturel, tandis que 12 appartient aux deux ensembles.

Cardinal et rang. Le naturel 4 peut indiquer une quantité de quatre objets ou une position dans une suite. La question « combien ? » appelle un cardinal ; la question « à quelle place ? » appelle un rang.

La convention sur 0 varie. Le symbole ℕ peut désigner {0, 1, 2, …} ou {1, 2, 3, …}. Si un énoncé dépend du premier élément, il faut vérifier la convention ou écrire explicitement ℕ avec ou sans 0.

Toutes les opérations ne sont pas internes. Une soustraction telle que 3 − 5 et une division telle que 3 ÷ 4 ne donnent pas de naturel. Il faut alors travailler respectivement dans les entiers relatifs ou dans les rationnels.

Une suite sans fin n'est pas un dernier nombre. ℕ est infini, mais aucun entier naturel n'est « l'infini » : chaque naturel possède encore un successeur. L'absence de dernier terme est précisément le symptôme à retenir.

La copie de ℕ demande un cadre logique précis. Dans les mathématiques usuelles avec l'axiome du choix, tout ensemble infini contient un sous-ensemble dénombrable. Sans une forme de choix, cette affirmation n'est pas automatique ; il faut alors préciser les axiomes adoptés.

axiome de Peano — Pour approfondir la construction de ℕ par 0, le successeur et la récurrence.

arithmétique — Pour situer les opérations et propriétés des naturels dans l'étude générale des nombres.

Entiers relatifs — Pour voir comment l'ajout des nombres négatifs rend toute soustraction possible.

Giuseppe Peano et le formalisme — Pour replacer l'axiomatisation des naturels dans son contexte mathématique.