Entiers relatifs

Dans un ascenseur, le rez-de-chaussée peut servir de niveau 0. Les étages sont repérés par 1, 2, 3…, tandis que les sous-sols le sont par −1, −2, −3… Ces repères, sans partie décimale, sont des entiers relatifs.

Chaque entier positif possède un opposé négatif, situé à la même distance de 0. Ainsi, 3 et −3 sont opposés, et leur somme vaut 0. Le nombre 0 est son propre opposé.

L'ensemble des entiers relatifs, noté ℤ, réunit 0, les entiers positifs et leurs opposés négatifs : …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … Il s'obtient donc à partir des entiers naturels en ajoutant un opposé à chaque entier positif. Pour tout entier relatif a, l'entier −a est son opposé et a + (−a) = 0.

L'addition, la soustraction et la multiplication de deux entiers relatifs donnent encore un entier relatif. Avec l'addition et la multiplication, ℤ est un anneau commutatif intègre : les opérations vérifient les règles usuelles, possèdent 0 et 1 comme éléments neutres, et un produit de deux entiers non nuls n'est jamais nul. L'ordre est total : deux entiers peuvent toujours être comparés. Il est compatible avec l'addition ; pour la multiplication, la conservation de l'ordre exige de multiplier par un entier positif, tandis qu'un facteur négatif renverse l'ordre.

La division n'est pas toujours une opération interne à ℤ : 1 divisé par 2 n'est pas un entier. En revanche, la division euclidienne y est possible. Pour tout entier a et tout entier strictement positif b, il existe un unique quotient entier q et un unique reste entier r tels que . Cette propriété fait de ℤ un anneau euclidien et, par conséquent, un anneau principal.

Un ascenseur part du niveau −3 et monte de 5 niveaux. Les données sont le niveau initial −3 et le déplacement positif +5. On cherche le niveau d'arrivée.

1. Le départ se traduit par l'entier −3.

2. Une montée de 5 niveaux se traduit par l'addition de +5. Sur une droite graduée, cela correspond à cinq déplacements d'une unité vers les nombres croissants.

3. Le calcul est $-3+5=2-3+5=2$. L'ascenseur arrive donc au niveau 2.

Le contrôle consiste à effectuer le trajet inverse : partir de 2 et descendre de 5 niveaux donne $2-5=-32-5=-3$, ce qui ramène bien au niveau initial.

Dans un ascenseur, les entiers relatifs repèrent les niveaux de part et d'autre du niveau 0. Ils sont préférables aux seuls entiers naturels dès qu'un sous-sol doit être distingué d'un étage.

Pour une température exprimée en degrés par rapport à 0 °C, un entier négatif indique une valeur sous zéro. Si la mesure comporte une fraction de degré, un nombre décimal remplace l'entier relatif.

Dans un relevé de solde, un entier positif peut représenter un avoir et un entier négatif une dette, à condition que les montants soient des unités entières. Pour des centimes, on emploie des décimaux ou un nombre entier de centimes.

Entier relatif et entier naturel. Un entier naturel sert à compter sans valeur négative, selon une convention qui inclut généralement 0. Un entier relatif peut être négatif : −3 est relatif, mais n'est pas naturel.

Entier relatif et nombre décimal. Un entier relatif ne possède aucune partie fractionnaire. Le niveau −3 est un entier relatif ; la température −3,5 °C est un nombre décimal négatif, pas un entier.

Opposé et inverse. L'opposé de 3 est −3, car leur somme vaut 0. Son inverse multiplicatif est 1/3, car leur produit vaut 1 ; cet inverse n'appartient pas à ℤ.

Le signe moins a deux rôles. Dans −3, il indique un entier négatif ; dans 2 − 5, il désigne une soustraction. Le résultat est le même entier −3, mais la lecture de départ diffère.

0 n'est ni positif ni négatif. Il appartient pourtant à ℤ et il est son propre opposé. Il faut donc le traiter séparément lorsqu'un énoncé exige un entier strictement positif ou strictement négatif.

Multiplier une inégalité par un négatif renverse son sens. Comme −3 < 2, la multiplication des deux membres par −1 donne 3 > −2. Conserver le même sens produirait une affirmation fausse.

La division euclidienne exige un diviseur non nul. Avec la convention b > 0, le reste vérifie 0 ≤ r < b. Pour un diviseur négatif, on commence par prendre sa valeur absolue ; avec b = 0, quotient et reste ne sont pas définis.

Les entiers naturels montrent le point de départ de la construction de ℤ et précisent le rôle de 0 dans le comptage.

La notion d'anneau euclidien généralise la division avec reste et explique pourquoi l'arithmétique de ℤ possède une structure particulièrement forte.