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anneau des entiers de Gauss
Les entiers de Gauss sont les nombres complexes de la forme a + bi, où a et b sont des entiers relatifs. L'ensemble de tous les entiers de Gauss, noté ℤ[i], muni des opérations d'addition et de multiplication complexes ordinaires, constitue un anneau intègre. Cet anneau est également un anneau euclidien, ce qui lui confère des propriétés arithmétiques analogues à celles de ℤ, notamment une décomposition en éléments irréductibles.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un entier de Gauss à ses deux coefficients entiers.
- Relier la norme gaussienne au module complexe sans les confondre.
- Refaire une division euclidienne complète dans ℤ[i].
- Identifier les unités, la non-unicité possible du quotient et le rôle de l'anneau dans une factorisation.
En clair
Imaginez un quadrillage qui couvre le plan complexe. Chaque croisement porte deux coordonnées entières : l'une horizontalement, l'autre verticalement. Le point de coordonnées 3 et 2 représente alors 3 + 2i. Tous ces points forment les entiers de Gauss.
On peut les additionner et les multiplier sans quitter ce quadrillage. Une distance au carré, appelée norme, y joue le rôle d'une taille et rend possibles une division avec reste ainsi qu'une arithmétique comparable à celle des entiers relatifs.
Définition
Un entier de Gauss est un nombre complexe dont la partie réelle et le coefficient de la partie imaginaire sont des entiers relatifs. En notant i le nombre complexe dont le carré vaut −1, l'ensemble s'écrit .
L'addition et la multiplication sont celles des nombres complexes. Elles restent dans ℤ[i], et aucun produit de deux éléments non nuls n'y vaut zéro : ℤ[i] est donc un anneau intègre. À l'entier de Gauss z = a + bi, on associe la norme entière . Elle vérifie pour deux entiers de Gauss z et w.
Cette norme fournit une division euclidienne : pour un entier de Gauss α et un entier de Gauss β non nul, il existe des entiers de Gauss q et r tels que et . L'algorithme d'Euclide s'applique alors. En particulier, tout élément non nul et non inversible se décompose en éléments irréductibles, de façon unique à l'ordre et aux facteurs inversibles près.
Où on le rencontre
On rencontre ℤ[i] dès qu'un calcul complexe se limite aux points d'un quadrillage. Quatre marqueurs permettent de le reconnaître : l'écriture a + bi, deux coefficients entiers, des points régulièrement espacés dans le plan complexe et des résultats qui restent sur ces points après addition ou multiplication.
Ce support porte une arithmétique à deux coordonnées. L'axe horizontal enregistre la partie réelle a et l'axe vertical le coefficient b de la partie imaginaire. La norme a2 + b2 ramène chaque point à un entier naturel, utile pour comparer des restes et conduire l'algorithme d'Euclide.
Le mode d'emploi
Pour situer z = a + bi, on lit deux coordonnées entières et sa norme. 1. La partie réelle a donne le déplacement horizontal. 2. Le coefficient b donne le déplacement vertical, positif vers le haut selon la convention usuelle. 3. On calcule N(z) = a2 + b2.
La norme n'est pas la distance du point à l'origine, mais son carré : la distance complexe vaut √N(z). Il ne faut donc pas lire N(3 + 2i) comme une longueur de 13 unités ; le point est à une distance √13 de l'origine. Pour une division, on situe d'abord le quotient complexe, puis on choisit un point du quadrillage parmi les plus proches.
Un exemple, pas à pas
On veut diviser l'entier de Gauss α = 7 + i par l'entier de Gauss β = 3 + 2i. Les données sont leurs quatre coefficients entiers : 7, 1, 3 et 2. La norme du diviseur vaut 32 + 22 = 13. Le quotient choisi sera noté q et le reste r.
1. On calcule d'abord le quotient dans les nombres complexes :
2. Le point de coordonnées 23/13 et −11/13 est proche du point de coordonnées 2 et −1. On prend donc q = 2 − i. Le réseau permet de visualiser ce choix sans remplacer le calcul.
3. On forme le reste :
4. Le contrôle utilise les normes : N(r) = 1, donc la norme du reste est strictement inférieure à 13 = N(β). La division euclidienne obtenue est . En redéveloppant le produit, on retrouve bien 7 + i.
En pratique
Pour calculer un plus grand commun diviseur de deux entiers de Gauss, on répète la division avec reste. Si les deux nombres sont des entiers relatifs ordinaires, l'algorithme dans ℤ suffit ; ℤ[i] devient utile dès qu'une partie imaginaire intervient.
Pour factoriser un entier dans ℤ[i], la norme donne un contrôle entier. Par exemple, 5 = (2 + i)(2 − i), et chaque facteur a pour norme 5. Une factorisation dans ℤ ne révèle pas ces facteurs non réels.
Pour décider si un nombre complexe appartient à ℤ[i], on inspecte ses deux coefficients. On travaille dans l'ensemble plus large ℂ dès que l'un d'eux n'est pas entier ; ainsi, 1/2 + i n'est pas un entier de Gauss.
À ne pas confondre
Entier relatif. Un entier relatif est sur l'axe réel, tandis qu'un entier de Gauss peut avoir une partie imaginaire entière non nulle. Le nombre 3 appartient aux deux ensembles ; 3 + 2i appartient à ℤ[i], mais pas à ℤ.
Nombre complexe quelconque. Tout entier de Gauss est complexe, mais l'inverse est faux. Le test porte sur les deux coefficients : 1/2 + i est complexe sans appartenir à ℤ[i].
Norme et module. Pour z = a + bi, la norme gaussienne est a2 + b2, tandis que le module est sa racine carrée. Ainsi, 3 + 2i a pour norme 13 et pour module √13.
Limites et pièges
Les unités ne comptent pas comme facteurs irréductibles. Les quatre éléments de norme 1, soit 1, −1, i et −i, sont inversibles. Deux factorisations qui diffèrent seulement par ces facteurs ou par l'ordre représentent donc la même décomposition essentielle.
Le quotient euclidien n'est pas toujours unique. Si le quotient complexe est à égale distance de plusieurs points du réseau, plusieurs choix de q conviennent. Il faut vérifier que la norme du reste est strictement inférieure à celle du diviseur, et non imposer une règle d'arrondi présentée comme universelle.
Un entier premier dans ℤ peut se factoriser dans ℤ[i]. L'égalité 5 = (2 + i)(2 − i) en donne un symptôme immédiat. Pour étudier l'irréductibilité, il faut donc préciser l'anneau dans lequel la factorisation est cherchée.
Pour aller plus loin
La fiche Anneau euclidien replace la division avec reste dans son cadre abstrait et montre pourquoi l'algorithme d'Euclide devient disponible.
L'article Des nombres pas si complexes prolonge l'intuition géométrique des nombres complexes sur laquelle repose le réseau des entiers de Gauss.
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