entier d'Eisenstein

Imaginez un quadrillage dont les mailles sont des triangles équilatéraux. En partant de zéro, on fait des pas entiers dans la direction de 1, puis dans celle de ω, inclinée de 120°. Chaque point atteint représente un entier d'Eisenstein.

Ce réseau triangulaire joue, dans le plan complexe, un rôle comparable à celui des entiers sur une droite. On peut y additionner, multiplier et étudier la divisibilité sans quitter le réseau.

On note ω le nombre complexe $\omega =e^{2\pi i\mathrm{/}3}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\backslash omega=e^\{2\backslash pi\; i/3\}=\backslash frac\{-1+i\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$. Il vérifie ω³ = 1, avec ω ≠ 1, ainsi que ω² + ω + 1 = 0. Un entier d'Eisenstein est tout nombre z qui s'écrit z = a + bω, où les coefficients a et b sont des entiers relatifs. L'ensemble de ces nombres est noté ℤ[ω].

Les deux directions données par 1 et ω engendrent un réseau triangulaire dans le plan complexe. Cette écriture est unique : deux couples d'entiers distincts ne donnent pas le même point. L'addition se fait coefficient par coefficient. Pour la multiplication, la relation ω² = −1 − ω ramène toujours le résultat à la forme a + bω.

À z = a + bω, on associe sa norme, un entier naturel : $N(a+b\omega )=(a+b\omega )(a+b{\omega }^2)=a^2-ab+b^{2}N(a+b\backslash omega)=(a+b\backslash omega)(a+b\backslash omega^2)=a^2-ab+b^2$. Cette norme est multiplicative et fournit une division euclidienne dans ℤ[ω]. L'anneau possède ainsi une théorie du plus grand commun diviseur et de la factorisation analogue à celle de ℤ. Il appartient au corps ℚ(√(−3)) et intervient notamment dans l'étude d'équations diophantiennes, dont le cas d'exposant 3 du dernier théorème de Fermat.

Prenons les deux entiers d'Eisenstein z = 2 + ω et u = 1 − ω. Leurs coefficients sont respectivement (2, 1) et (1, −1). Vérifions leur produit et leurs normes.

1. Développons le produit : (2 + ω)(1 − ω) = 2 − ω − ω².
2. Remplaçons ω² par −1 − ω : 2 − ω + 1 + ω = 3.
3. Calculons la norme de z : N(z) = 2² − 2 × 1 + 1² = 3.
4. Calculons la norme de u : N(u) = 1² − 1 × (−1) + (−1)² = 3.

On obtient exactement zu = 3. Ainsi, z divise 3 dans ℤ[ω], avec u pour quotient. Le contrôle multiplicatif donne N(zu) = N(z)N(u) = 3 × 3 = 9, ce qui coïncide avec N(3) = 3² = 9.

Pour représenter un entier d'Eisenstein, on lit ses deux coefficients entiers. Le point 2 + ω se place après deux pas dans la direction de 1 et un pas dans celle de ω ; un repère cartésien ordinaire reste possible, mais masque la maille triangulaire naturelle.

Pour tester une divisibilité ou chercher un plus grand commun diviseur, on utilise la norme a² − ab + b². Elle remplace la valeur absolue des entiers ordinaires et diminue au cours d'une division euclidienne.

Pour certaines équations diophantiennes, travailler dans ℤ[ω] transforme une expression entière en produit de facteurs complexes. Cette voie est particulièrement adaptée lorsque les symétries cubiques sont présentes ; pour des symétries quartiques, les entiers de Gauss constituent plutôt le réseau naturel.

Entier d'Eisenstein et entier de Gauss. Un entier d'Eisenstein s'écrit a + bω et appartient à un réseau triangulaire. Un entier de Gauss s'écrit a + bi et appartient à un réseau carré. Par exemple, ω est un entier d'Eisenstein, mais pas un entier de Gauss.

Entier d'Eisenstein et nombre complexe quelconque. Tous deux sont des nombres complexes, mais les coefficients d'un entier d'Eisenstein doivent être des entiers relatifs dans la base 1, ω. Le nombre (1/2) + ω n'appartient donc pas à ℤ[ω].

Racine cubique de l'unité et entier d'Eisenstein. Le nombre ω est l'un des éléments du réseau et sert à le construire ; il n'est pas le nom de tout le réseau. Le point 2 + ω est un entier d'Eisenstein sans être lui-même une racine cubique de 1.

La forme a + bω impose a, b ∈ ℤ. Des coefficients rationnels ou réels décrivent bien des nombres complexes, mais pas nécessairement des entiers d'Eisenstein. Il faut contrôler séparément les deux coefficients dans la base 1, ω.

La norme n'est pas le module. Pour z = a + bω, la norme N(z) = a² − ab + b² est le carré du module complexe |z|. Ainsi N(2 + ω) = 3, tandis que |2 + ω| = √3. Confondre les deux fausse les contrôles multiplicatifs.

Un même élément premier a plusieurs associés. Multiplier par l'une des six unités ±1, ±ω, ±ω² change son écriture et sa position, mais pas son rôle dans une factorisation. Une unicité de factorisation s'entend donc à l'ordre des facteurs et à ces unités près.

La primarité exige une convention précise. Dans ce contexte, le mot désigne un choix arithmétique parmi des éléments associés, utile pour formuler des critères sur les premiers. Il ne faut pas le remplacer automatiquement par « être premier » sans vérifier la définition retenue.

L'Anneau euclidien précise le mécanisme de division qui fonde le calcul du plus grand commun diviseur et la factorisation dans ℤ[ω].

La Racine n-ième de l'unité replace ω parmi les solutions complexes dont les symétries engendrent des configurations régulières.

L'équation diophantienne montre le cadre arithmétique dans lequel l'extension aux entiers d'Eisenstein devient un outil de factorisation.