GéométrieNotion · Glossaire
Forme cartésienne d'un complexe
La forme cartésienne d'un nombre complexe est son écriture sous la forme z = a + ib, où a et b sont des nombres réels et i est l'unité imaginaire vérifiant i² = -1. Le nombre a est appelé partie réelle de z, noté Re(z), et b est appelé partie imaginaire, noté Im(z). Cette représentation correspond aux coordonnées du point d'affixe z dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé. La forme cartésienne est particulièrement adaptée à l'addition, à la soustraction et au développement d'un produit ; d'autres formes sont souvent plus commodes pour les puissances, les modules et les angles.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire les parties réelle et imaginaire dans l'écriture a + ib.
- Associer un complexe aux coordonnées de son point d'affixe.
- Vérifier une addition et un produit en forme cartésienne.
- Choisir entre forme cartésienne et forme trigonométrique selon l'opération.
En clair
Dans un plan, le point placé trois unités à droite et deux unités vers le haut a pour coordonnées (3 ; 2). Le nombre complexe associé s'écrit 3 + 2i : le nombre 3 indique la position horizontale et le nombre 2, coefficient de i, indique la position verticale.
Cette écriture est la forme cartésienne. Elle permet de lire immédiatement les deux composantes du complexe, puis de les combiner séparément lors d'une addition ou d'une soustraction.
Définition
Un nombre complexe z est en forme cartésienne lorsqu'il est écrit z = a + ib. Le nombre réel a est sa partie réelle, notée Re(z), et le nombre réel b est sa partie imaginaire, notée Im(z). Le symbole i désigne l'unité imaginaire, caractérisée par i2 = −1. Une fois i fixé, chaque complexe possède un unique couple (a ; b) de coefficients réels. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, ce couple donne les coordonnées du point d'affixe z.
Pour deux autres nombres réels c et d, l'addition et la multiplication se ramènent aux opérations réelles :
La seconde identité utilise i2 = −1. La forme cartésienne convient donc particulièrement aux additions, aux soustractions et à la lecture des coordonnées. Pour les produits répétés, les puissances ou la lecture d'un angle, la forme trigonométrique ou exponentielle peut être plus commode, sans représenter un autre nombre.
Un exemple, pas à pas
On considère deux nombres complexes : z = 3 + 2i et w = 1 − 4i. Les données sont Re(z) = 3, Im(z) = 2, Re(w) = 1, Im(w) = −4 et i2 = −1.
1. Pour situer z, on place son point d'affixe aux coordonnées (3 ; 2) : trois unités sur l'axe réel et deux sur l'axe imaginaire.
2. Pour additionner, on regroupe séparément les parties réelles et imaginaires :
1. Pour situer z, on place son point d'affixe aux coordonnées (3 ; 2) : trois unités sur l'axe réel et deux sur l'axe imaginaire.
2. Pour additionner, on regroupe séparément les parties réelles et imaginaires :
3. Pour multiplier, on développe puis on remplace i2 par −1 :
Le produit est donc 11 − 10i. Le contrôle par la règle des couples donne une partie réelle égale à 3 × 1 − 2 × (−4) = 11 et une partie imaginaire égale à 3 × (−4) + 2 × 1 = −10.
En pratique
Pour additionner ou soustraire des complexes, la forme cartésienne sépare directement les coefficients réels et imaginaires. Elle est préférable à la forme trigonométrique lorsque l'opération demandée porte sur une somme ou une différence.
Dans le plan complexe, l'écriture z = 3 + 2i fournit sans conversion les coordonnées (3 ; 2) du point d'affixe z. Elle est donc adaptée lorsque l'on doit placer un point ou lire un déplacement horizontal et vertical.
Pour multiplier de nombreux facteurs ou calculer de grandes puissances, une forme trigonométrique ou exponentielle réduit souvent les calculs. Le critère est l'opération : coordonnées et sommes favorisent la forme cartésienne ; modules, angles et puissances favorisent les autres formes.
À ne pas confondre
La forme cartésienne et la forme trigonométrique sont deux écritures d'un même complexe. La première donne les coefficients a et b ; la seconde donne un module et un angle. Pour z = 3 + 2i, changer de forme ne change ni le nombre ni son point d'affixe.
Le nombre complexe z = a + ib ne se réduit pas au couple réel (a ; b), même si ce couple le repère entièrement. Le test est algébrique : z peut être multiplié en utilisant i2 = −1, tandis qu'un couple de coordonnées n'a pas, à lui seul, cette règle de multiplication.
Limites et pièges
Si b = 0, le complexe z = a + ib est réel et s'écrit simplement z = a. Si a = 0, il est imaginaire pur et s'écrit z = ib. Ces cas ne font pas disparaître la forme cartésienne : l'un de ses deux coefficients vaut zéro.
Dans z = 3 − 2i, le coefficient de i est −2. La partie imaginaire est donc Im(z) = −2, et non 2 ni −2i. Le symptôme du piège est de conserver seulement la valeur absolue ou le terme entier ; il faut relever le coefficient signé de i.
Une division par un complexe exige un diviseur non nul. Pour remettre un quotient en forme cartésienne, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du diviseur ; si celui-ci vaut 0 + 0i, aucune division n'est définie.
Pour aller plus loin
La fiche Partie réelle précise comment isoler le coefficient réel dans une écriture complexe.
Le plan complexe relie les coefficients a et b aux coordonnées d'un point.
Le conjugué d'un nombre complexe montre pourquoi changer le signe de la partie imaginaire facilite notamment les divisions.
L'article Des nombres pas si complexes replace ces écritures dans une présentation plus large des nombres complexes.
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