ArithmétiqueNotion · Glossaire
Partie réelle
La partie réelle d'un nombre complexe z = a + ib est le nombre réel a. Elle est notée Re(z) ou Re z. La partie réelle satisfait Re(z + w) = Re(z) + Re(w) et Re(z) = (z + z conjugué) / 2, où z conjugué est le conjugué de z. Un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie réelle est égale à lui-même, c'est-à-dire si sa partie imaginaire est nulle. La partie réelle Re : C → R est linéaire lorsque C et R sont considérés comme des espaces vectoriels sur R.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire la partie réelle dans la forme algébrique et dans le plan complexe.
- Vérifier Re(z) à l'aide du conjugué.
- Distinguer la partie réelle de la partie imaginaire, du module et de l'argument.
- Reconnaître la linéarité sur les réels et sa limite sur les complexes.
En clair
Dans le plan complexe, le nombre 3 − 4i se représente par un point placé à l'abscisse 3 et à l'ordonnée −4. Sa partie réelle est simplement son abscisse : 3. Pour la lire, on projette mentalement le point sur l'axe horizontal.
Le terme en i peut changer sans modifier cette valeur. Ainsi, 3 + 2i, 3 − 4i et le nombre réel 3 ont tous la même partie réelle. Cette lecture isole une coordonnée ; elle ne résume pas le nombre complexe entier.
Définition
Un nombre complexe écrit sous forme algébrique possède une partie réelle et une partie imaginaire. Si z s'écrit a + ib, où a et b sont des nombres réels et où i vérifie i2 = −1, la partie réelle de z est le coefficient a. On la note Re(z) ou Re z. Cette valeur appartient toujours à l'ensemble des nombres réels, même lorsque z n'est pas réel.
Pour deux nombres complexes z et w, prendre la partie réelle commute avec l'addition. Si le conjugué de z, noté , s'obtient en changeant le signe de sa partie imaginaire, les deux identités s'écrivent :
Un nombre complexe z est réel exactement lorsque Re(z) = z, ce qui équivaut à une partie imaginaire nulle. Enfin, l'application qui envoie z sur Re(z) est linéaire lorsque ℂ et ℝ sont vus comme des espaces vectoriels sur ℝ ; elle n'est pas linéaire sur ℂ.
Un exemple, pas à pas
Prenons le nombre complexe z = 3 − 4i. Les données sont sa coordonnée réelle 3 et le coefficient −4 de i. Son conjugué, noté , vaut 3 + 4i.
1. Dans la forme algébrique, on lit directement le coefficient sans i : Re(z) = 3.
2. Pour contrôler ce résultat, on additionne z et son conjugué : (3 − 4i) + (3 + 4i) = 6.
3. On divise cette somme par 2 : 6 / 2 = 3.
2. Pour contrôler ce résultat, on additionne z et son conjugué : (3 − 4i) + (3 + 4i) = 6.
3. On divise cette somme par 2 : 6 / 2 = 3.
Les termes −4i et +4i s'annulent exactement. Les deux méthodes donnent donc le même résultat réel, 3. Dans le plan complexe, le point associé à z a pour coordonnées (3 ; −4) : sa projection sur l'axe réel tombe bien à l'abscisse 3.
La figure matérialise ce contrôle géométrique : le point z et sa projection partagent la même abscisse, tandis que la coordonnée −4 ne détermine que la hauteur du point.
En pratique
Dans un calcul sous forme algébrique, on extrait Re(z) en regroupant les termes sans i. Si l'expression contient des fractions ou des parenthèses, on simplifie d'abord ; une lecture immédiate risquerait d'oublier un terme réel.
Dans le plan complexe, on lit la partie réelle comme l'abscisse du point. Cette lecture géométrique est préférable lorsque le nombre est donné par un dessin ; la forme algébrique reste plus précise si le tracé n'est pas gradué exactement.
Pour vérifier qu'un complexe est réel, on contrôle que sa partie imaginaire est nulle, ou de façon équivalente que Re(z) = z. Si seule la partie réelle doit être calculée après une addition, l'additivité évite de développer inutilement toute l'expression.
À ne pas confondre
Partie imaginaire. Dans z = a + ib, la partie réelle est a, tandis que la partie imaginaire est b, et non ib. Pour z = 3 − 4i, elles valent respectivement 3 et −4.
Module. La partie réelle est une coordonnée qui peut être négative. Le module mesure une distance à l'origine et n'est jamais négatif. Pour z = 3 − 4i, Re(z) = 3, alors que le module vaut 5.
Argument. La partie réelle situe horizontalement le point associé au complexe. Un argument décrit une direction angulaire, définie à un multiple de 2π près pour un complexe non nul. Deux points sur une même verticale ont la même partie réelle, mais généralement pas le même argument.
Limites et pièges
Une coordonnée ne suffit pas. Connaître Re(z) ne permet pas de retrouver z : tous les nombres 3 + ib, avec b réel, ont pour partie réelle 3. Il faut aussi connaître la partie imaginaire.
Le cas charnière est b = 0. Si z = a + ib et b vaut exactement 0, alors z = a est réel et Re(z) = z. Dès que b est non nul, même très petit, cette dernière égalité est fausse.
La linéarité dépend du corps de scalaires. La partie réelle respecte les sommes et la multiplication par un réel. Elle ne respecte pas la multiplication par tout complexe : Re(i × 1) = 0, alors que i × Re(1) = i. Il faut donc parler de linéarité sur ℝ, pas sur ℂ.
Une lecture graphique peut être approximative. Sur un plan peu gradué, l'abscisse lue à l'œil n'est qu'une estimation. Il faut revenir aux coordonnées ou à la forme algébrique pour obtenir une valeur exacte.
Pour aller plus loin
La fiche Partie imaginaire complète cette lecture en montrant comment obtenir la seconde coordonnée d'un nombre complexe.
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