Quantité conjuguée

Placez le nombre complexe 3 + 4i dans le plan : il se trouve trois unités à droite et quatre unités au-dessus de l'axe réel. Son conjugué, 3 − 4i, garde la même partie réelle et inverse seulement le signe de la partie imaginaire.

Géométriquement, les deux points sont symétriques par rapport à l'axe réel. Leur distance à l'origine est donc la même. Cette symétrie rend visibles les deux gestes à retenir : conserver la partie réelle et opposer la partie imaginaire.

Soit un nombre complexe noté z, dont la partie réelle est a et la partie imaginaire est b. Il s'écrit $z=a+ibz=a+ib$, où i est le nombre imaginaire dont le carré vaut −1. Le conjugué de z, noté $\bar{z}\backslash overline\{z\}$, conserve a et remplace b par son opposé.

Les identités fondamentales sont :

Le produit de z par son conjugué est donc un réel positif ou nul. Sa racine carrée est le module de z. La conjugaison respecte l'addition et la multiplication, fixe chaque nombre réel et, appliquée deux fois, rend le nombre initial : c'est un automorphisme involutif du corps des nombres complexes. Dans une extension algébrique ou un corps de nombres, le mot « conjugué » peut aussi désigner les autres images d'un élément par les plongements ou automorphismes pertinents ; il ne s'agit alors plus seulement de changer le signe d'une partie imaginaire.

On considère le nombre complexe z = 3 + 4i. Ses données sont une partie réelle égale à 3 et une partie imaginaire égale à 4. On cherche son conjugué, son module et son inverse.

1. Conservez la partie réelle 3 et changez 4 en −4 : le conjugué est 3 − 4i.

2. Multipliez le nombre par son conjugué :

3. Prenez la racine carrée positive de 25 : le module de z vaut 5.

4. Comme z n'est pas nul, divisez son conjugué par 25 :

Le contrôle consiste à multiplier ce dernier résultat par 3 + 4i : les termes imaginaires s'annulent et le produit vaut exactement 1.

Pour calculer le module d'un complexe, le produit par son conjugué donne directement le carré du module. Avec 3 + 4i, le produit vaut 25 et le module vaut 5. Une lecture géométrique de la distance à l'origine constitue l'alternative lorsque le point est déjà représenté dans le plan.

Pour diviser par un nombre complexe non nul, multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur transforme celui-ci en réel. La division directe sous forme trigonométrique est une alternative si les modules et arguments sont déjà connus.

Dans une équation à coefficients réels, conjuguer chaque terme montre que le conjugué d'une solution complexe est encore une solution. Ce raisonnement ne s'applique pas tel quel lorsque les coefficients ne sont pas tous réels.

Conjugué et opposé. Le conjugué de 3 + 4i est 3 − 4i, tandis que son opposé est −3 − 4i. Le premier conserve la partie réelle ; le second change le signe des deux parties.

Conjugué et inverse. Le conjugué de 3 + 4i est 3 − 4i, mais son inverse est (3 − 4i)/25. Ils ne coïncident que lorsque le module du nombre vaut 1.

Conjugué et module. Le conjugué est un nombre complexe, alors que le module est un réel positif ou nul. Pour 3 + 4i, ils valent respectivement 3 − 4i et 5.

Nombre réel. Si la partie imaginaire vaut 0, le nombre est son propre conjugué. Le signe semble ne pas changer, mais la règle reste bien appliquée puisque l'opposé de 0 est 0.

Nombre nul. Le conjugué de 0 est 0 et le produit par son conjugué vaut 0. En revanche, la formule de l'inverse est interdite : il faudrait diviser par un module au carré nul.

Produit par le conjugué. Le résultat a² + b² est le carré du module, et non le module lui-même. Pour 3 + 4i, le produit vaut 25 tandis que le module vaut 5.

Cadre algébrique plus large. Dans une extension algébrique, un élément peut avoir plusieurs conjugués algébriques. Il faut alors préciser l'extension et le sens de « conjugué » au lieu d'appliquer automatiquement la règle a + ib devient a − ib.

Argument d'un nombre complexe — Relier la conjugaison à la symétrie des angles dans le plan complexe.

L’esprit de corps quadratique — Situer les conjugués dans le cadre plus large des corps quadratiques.