Diagramme d'Argand

Imaginez une feuille quadrillée avec un axe horizontal et un axe vertical. Pour placer le nombre complexe z = 3 + 4i, partez de l'origine, avancez de 3 unités vers la droite, puis montez de 4 unités. Le point obtenu rend visibles les deux nombres cachés dans l'écriture de z.

La distance de ce point à l'origine vaut 5 : c'est le module de z. La direction du segment indique son argument. Le diagramme d'Argand transforme ainsi des calculs sur les nombres complexes en déplacements, rotations, agrandissements ou symétries que l'œil peut suivre.

Un diagramme d'Argand est un plan muni d'un repère orthonormé : l'axe horizontal porte les nombres réels et l'axe vertical les coefficients de l'unité imaginaire i, définie par i² = −1. Tout nombre complexe z = a + ib, où a et b sont réels, correspond au point M de coordonnées (a, b). Réciproquement, chaque point du plan possède une unique affixe z. Le vecteur allant de l'origine O à M représente le même nombre complexe.

La longueur OM est le module de z, noté |z|. Lorsque z est non nul, l'angle orienté entre l'axe réel positif et le vecteur OM est un argument de z, défini à un multiple de 2π près. Pour z = a + ib, ces données vérifient $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\sqrt{a^2+b^2}|z|=\backslash sqrt\{a^2+b^2\}$.

Multiplier par un complexe non nul w revient à tourner autour de O d'un argument de w et à multiplier les distances par |w|. Multiplier par 0 écrase au contraire tout le plan sur O. Le conjugué de z = a + ib est le nombre a − ib : son point est le symétrique de M par rapport à l'axe réel. Les appellations plan complexe et plan d'Argand-Cauchy désignent la même représentation.

On rencontre le diagramme d'Argand dans un repère à deux axes perpendiculaires de même unité. L'axe horizontal est l'axe réel ; l'axe vertical est l'axe imaginaire ; leur intersection est l'origine O. Un point peut porter une lettre, comme M, et son affixe complexe, comme z = 3 + 4i. Le segment issu de O matérialise à la fois une distance et une direction.

Ces marqueurs distinguent ce support d'un graphique de fonction : les deux coordonnées ne sont pas une entrée x et une sortie f(x). Ensemble, elles codent un seul nombre complexe, sa partie réelle et sa partie imaginaire.

Pour lire l'affixe d'un point M, projetez d'abord M sur l'axe réel : l'abscisse obtenue donne la partie réelle a. Projetez ensuite M sur l'axe imaginaire : l'ordonnée donne la partie imaginaire b. Écrivez alors z = a + ib en conservant le signe de b.

Pour z = 3 + 4i, le point M a pour coordonnées (3, 4). Le triangle rectangle formé avec les axes donne |z| = 5. L'argument principal, mesuré depuis l'axe réel positif dans le sens antihoraire, vaut environ 0,927 rad, soit 53,1°.

Le piège classique consiste à utiliser seulement l'angle dont la tangente vaut b/a. Cette valeur ne distingue pas toujours deux quadrants opposés et elle échoue lorsque a = 0. Il faut donc observer les signes de a et de b, ou utiliser une fonction de calcul qui tient compte des deux coordonnées.

Prenons le nombre complexe z = 3 + 4i. Les données sont sa partie réelle 3, sa partie imaginaire 4 et le repère orthonormé du plan complexe. On veut placer z, déterminer son module et observer deux opérations géométriques.

1. Placez M au point (3, 4).
2. Calculez le module : $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\sqrt{3^2+4^2}=5|z|=\backslash sqrt\{3^2+4^2\}=5$.
3. Multipliez z par i : iz = −4 + 3i, donc le nouveau point N est (−4, 3).
4. Conjuguez z : le conjugué vaut 3 − 4i, donc son point est (3, −4).

Le schéma réunit les trois points issus de ces calculs. Les segments OM et ON ont tous deux pour longueur 5, et le passage de M à N est une rotation de 90° dans le sens antihoraire. Le point d'affixe 3 − 4i est le reflet de M dans l'axe réel. Pour contrôler, vérifiez que (−4)² + 3² = 25 et que les deux points conjugués ont la même abscisse et des ordonnées opposées.

Pour comparer plusieurs nombres complexes, le diagramme fait apparaître immédiatement ceux qui ont le même module ou la même direction. Une liste algébrique reste préférable lorsque seules les coordonnées exactes doivent être recopiées.

Pour étudier une multiplication, tracez le point avant et après l'opération lorsque la question porte sur un angle ou un facteur d'échelle. Développez plutôt le produit algébrique si le résultat exact a + ib est l'information recherchée.

Pour vérifier une conjugaison, observez la symétrie par rapport à l'axe réel : l'abscisse doit rester fixe et l'ordonnée changer de signe. Le calcul a + ib vers a − ib fournit ensuite un contrôle exact.

Un diagramme d'Argand ressemble à un repère cartésien, mais il ne représente pas nécessairement une fonction. Le point (3, 4) code ici un seul nombre, 3 + 4i ; sur le graphe d'une fonction, il relierait une entrée 3 à une valeur 4.

L'affixe n'est pas le couple de coordonnées. M a pour coordonnées réelles (3, 4), tandis que son affixe est le nombre complexe 3 + 4i. Les deux écritures portent la même information, mais n'appartiennent pas au même langage.

Le module n'est pas la partie réelle. Pour z = 3 + 4i, la partie réelle vaut 3 alors que le module vaut 5. Le module mesure une distance à l'origine et ne peut jamais être négatif.

À l'origine, le nombre représenté est 0 : son module vaut 0, mais il n'a pas d'argument. Toute direction part de ce même point, si bien qu'aucun angle unique ne peut lui être attribué.

Un argument n'est pas un angle unique sans convention supplémentaire. Si θ est un argument d'un complexe non nul, alors θ + 2kπ l'est aussi pour tout entier k. L'argument principal choisit un intervalle de référence, dont les bornes dépendent de la convention annoncée.

La description d'une multiplication comme rotation et homothétie suppose un multiplicateur non nul. Avec un multiplicateur égal à 0, tous les points ont pour image l'origine : il s'agit d'un écrasement, pas d'une rotation suivie d'une homothétie de rapport strictement positif.

L'image visuelle du module suppose des axes perpendiculaires gradués avec la même unité. Si les échelles diffèrent, la distance mesurée dans la représentation ne représente plus |z| ; il faut revenir aux coordonnées et calculer la racine carrée de a² + b².

Le glossaire plan complexe précise le repère qui associe chaque point à un nombre complexe.

La fiche Affixe approfondit le passage entre les coordonnées d'un point et son écriture complexe.

L'argument d'un nombre complexe développe la mesure de la direction et ses conventions.

Le conjugué d'un nombre complexe détaille la symétrie par rapport à l'axe réel et ses conséquences algébriques.