plan complexe

Imaginez une feuille quadrillée avec une origine et deux axes perpendiculaires. Le nombre complexe 3 + 2i y devient un point : on avance de 3 unités horizontalement, puis de 2 unités verticalement. La partie réelle donne donc la position de gauche à droite, tandis que le coefficient de i donne la hauteur.

Ce dessin transforme une écriture algébrique en position visible. Chaque nombre complexe possède un point, et chaque point correspond à un seul nombre complexe.

Un plan complexe est un plan orienté équipé d'un repère orthonormé direct. L'origine représente le nombre 0. L'axe horizontal est l'axe des réels ; l'axe vertical est l'axe des imaginaires purs. Les deux axes ont la même unité et sont perpendiculaires. Leurs sens positifs sont ceux du repère choisi ; la condition directe fixe leur orientation relative.

Tout nombre complexe s'écrit sous la forme z = a + ib, où a et b sont des nombres réels et où i vérifie i² = −1. À z, on associe l'unique point M de coordonnées (a ; b). Réciproquement, un point M de coordonnées (a ; b) détermine l'unique nombre a + ib, appelé son affixe. Cette correspondance biunivoque est la représentation d'Argand-Cauchy, aussi appelée représentation d'Argand-Gauss.

Lorsque b = 0, le point est sur l'axe des réels. Lorsque a = 0, il est sur l'axe des imaginaires purs. Cette identification rend géométriques des calculs sur les complexes : une addition se lit comme une addition de vecteurs, tandis que la distance à l'origine et la direction du vecteur associé renseignent respectivement sur le module et l'argument.

Le plan complexe réunit quatre éléments nécessaires. Une origine O représente 0. Un axe horizontal orienté porte les nombres réels. Un axe vertical orienté porte les imaginaires purs. Enfin, une même unité sur deux axes perpendiculaires rend le repère orthonormé.

Les coordonnées dépendent de ces axes : la première, a, se lit horizontalement et la seconde, b, verticalement. Elles déterminent ensemble le point représentant a + ib. L'ordre et le sens des axes sont donc indispensables à cette lecture, tandis que la couleur, l'épaisseur ou la taille du dessin ne définissent pas le plan complexe. Avec l'origine, l'orientation et l'unité, on peut placer un complexe et construire le vecteur qui va de O à son point.

Plaçons le nombre complexe z = 3 + 2i. Les données sont sa partie réelle, égale à 3, et le coefficient de i dans sa partie imaginaire, égal à 2. Le repère est orthonormé direct et son unité est la même sur les deux axes.

1. Sur l'axe des réels, on part de l'origine et l'on se déplace de 3 unités dans le sens positif.
2. Depuis cette position, on monte de 2 unités parallèlement à l'axe des imaginaires purs.
3. On obtient le point M de coordonnées (3 ; 2), dont l'affixe est z.

La correspondance utilisée est donc :La figure matérialise les deux lectures de coordonnées et le vecteur qui relie l'origine au point.

Le contrôle se refait dans l'autre sens : l'abscisse 3 fournit la partie réelle, et l'ordonnée 2 fournit le coefficient de i. On retrouve exactement 3 + 2i.

Pour placer un nombre complexe, on lit d'abord sa partie réelle puis le coefficient de i. L'écriture algébrique reste préférable lorsqu'un calcul symbolique suffit ; le plan devient utile lorsque la position ou le déplacement doit être vu.

Pour additionner deux complexes, leurs points peuvent être remplacés par les vecteurs issus de l'origine. L'addition coordonnée par coordonnée se traduit alors par la règle du parallélogramme. Le calcul algébrique est plus direct si seule la somme numérique est recherchée.

Pour étudier l'éloignement et la direction d'un complexe non nul, le vecteur associé donne une lecture géométrique du module et de l'argument. La forme algébrique convient mieux lorsque seules les parties réelle et imaginaire sont demandées.

Plan complexe et ensemble ℂ. L'ensemble ℂ est l'ensemble des nombres complexes ; le plan complexe est leur représentation géométrique dans un repère choisi. Le nombre 3 + 2i appartient à ℂ, tandis que M(3 ; 2) est le point qui le représente.

Point et affixe. Un point M est un objet géométrique ; son affixe est le nombre complexe qui code ses coordonnées. Dans le repère fixé, M(3 ; 2) a pour affixe 3 + 2i : les deux écritures se correspondent, mais ne désignent pas le même type d'objet.

Partie imaginaire et terme imaginaire. Pour z = 3 + 2i, la partie imaginaire est le nombre réel 2, alors que le terme imaginaire est 2i. Le point associé a donc pour ordonnée 2, et non 2i.

Coordonnées inversées. Lire b horizontalement et a verticalement transforme à tort a + ib en (b ; a). Le premier nombre est toujours l'abscisse ; le coefficient de i est toujours l'ordonnée.

Points sur les axes. Si b = 0, le complexe est réel et son point est sur l'axe horizontal. Si a = 0, il est imaginaire pur et son point est sur l'axe vertical. Le nombre 0 vérifie les deux conditions et se place à leur intersection.

Orientation ou échelle modifiée. Un dessin dont les axes n'ont pas la même unité n'est pas un repère orthonormé. Un axe retourné change aussi la lecture des signes. Avant d'interpréter une position ou un angle, il faut donc vérifier l'origine, les sens positifs et les unités.

Argument à l'origine. Le vecteur associé à 0 est nul : il n'a aucune direction. On peut placer 0 dans le plan et calculer son module, mais on ne lui attribue pas d'argument.

L'affixe précise le passage inverse du point vers le nombre complexe et facilite l'écriture algébrique d'une configuration géométrique.

L'argument d'un nombre complexe prolonge la lecture du plan en associant une direction à tout complexe non nul.