Affixe

Sur un repère, le point M placé trois unités à droite et deux unités vers le haut a pour coordonnées (3, 2). Dans le plan complexe, ces deux indications se rassemblent en un seul nombre : 3 + 2i. Ce nombre est l’affixe de M. Sa partie réelle, 3, donne la position horizontale ; sa partie imaginaire, 2, donne la position verticale. Chaque point possède ainsi une affixe unique, et chaque nombre complexe place un point unique.

Dans un plan complexe muni d’un repère orthonormé direct, l’affixe d’un point M de coordonnées cartésiennes (x, y) est le nombre complexe $z=x+iyz=x+iy$. Le nombre réel x est la partie réelle de z. Le nombre réel y est la partie imaginaire de z, et i désigne l’unité imaginaire choisie vérifiant i² = −1. Cette correspondance est bijective : dans ce repère, un point détermine un seul complexe et réciproquement.

Si un vecteur va d’un point A d’affixe z_A vers un point B d’affixe z_B, son affixe est $z_B-z_{A}z\_B-z\_A$. Une translation de vecteur d’affixe z₀ transforme l’affixe z en $z^{\mathrm{\prime }}=z+z_{0}z\text{'}=z+z\_0$. Une rotation d’angle t, mesuré en radians, centrée à l’origine transforme z en $z^{\mathrm{\prime }}=e^{it}zz\text{'}=e^\{it\}z$. Pour une rotation de centre d’affixe ω, la formule devient $z^{\mathrm{\prime }}=\omega +e^{it}(z-\omega )z\text{'}=\backslash omega+e^\{it\}(z-\backslash omega)$.

On place un point M, puis on lui applique séparément une translation et une rotation. Les données sont :
1. les coordonnées de M sont (3, 2) ;
2. le vecteur de translation a pour affixe 1 − i ;
3. la rotation est centrée à l’origine et son angle vaut 90°.

1. L’affixe de M est z = 3 + 2i.
2. Pour la translation, on additionne 1 − i : z’ = (3 + 2i) + (1 − i) = 4 + i.
3. Le point translaté a donc pour coordonnées (4, 1).
4. Une rotation de 90° autour de l’origine revient à multiplier par i : iz = i(3 + 2i) = −2 + 3i.
5. Le point tourné a donc pour coordonnées (−2, 3).

Le contrôle se refait sur les coordonnées. La translation ajoute (1, −1) à (3, 2), ce qui donne bien (4, 1). Le quart de tour direct transforme (x, y) en (−y, x), donc (3, 2) devient (−2, 3). Les trois positions sont représentées dans un même repère afin de rendre ces deux effets visibles.

Pour placer un nombre complexe dans le plan, on lit sa partie réelle sur l’axe horizontal et le coefficient de sa partie imaginaire sur l’axe vertical. Les coordonnées (x, y) restent préférables lorsqu’on veut seulement lire une position ; l’affixe devient utile dès que le calcul complexe intervient.

Pour effectuer une translation, on ajoute au point l’affixe du vecteur de déplacement. Pour une rotation centrée à l’origine, on multiplie par le complexe associé à l’angle. Si le centre n’est pas l’origine, il faut employer la formule qui fait aussi intervenir l’affixe du centre.

Pour obtenir le déplacement de A vers B, on soustrait l’affixe de A à celle de B. Une différence de coordonnées donne le même résultat ; l’écriture complexe est souvent plus directe lorsqu’une transformation doit ensuite être composée.

Affixe et coordonnées cartésiennes. Les coordonnées forment le couple ordonné (x, y), tandis que l’affixe est le nombre complexe x + iy. Le point M de l’exemple a pour coordonnées (3, 2) et pour affixe 3 + 2i : les deux écritures codent la même position, mais n’ont pas la même nature.

Affixe et module. L’affixe conserve les deux coordonnées du point. Le module ne conserve que sa distance à l’origine et prend une valeur réelle positive ou nulle. Ainsi, l’affixe 3 + 2i a pour module √13 ; beaucoup d’autres points situés à la même distance ont le même module, mais une autre affixe.

Un zéro dans les coordonnées ne supprime pas l’affixe. Un point de l’axe réel a une affixe de la forme x + 0i ; un point de l’axe imaginaire a une affixe de la forme 0 + iy. L’origine elle-même a pour affixe 0. Il faut conserver la coordonnée nulle lors du passage entre le point et le complexe.

La multiplication seule suppose une rotation centrée à l’origine. Le symptôme d’une formule inadaptée est que le centre annoncé se déplace. Pour un centre d’affixe ω, il faut d’abord soustraire ω, effectuer la rotation, puis ajouter ω.

L’ordre des extrémités d’un vecteur compte. De A vers B, l’affixe vaut z_B − z_A. Inverser le sens donne z_A − z_B, l’opposé du premier complexe. Le bon réflexe consiste à identifier l’origine et l’extrémité avant de soustraire.

Une affixe dépend du repère choisi. Changer l’origine, l’orientation des axes ou l’unité peut changer le nombre associé au même point géométrique. Avant de comparer deux affixes, il faut donc vérifier qu’elles sont exprimées dans le même repère du plan complexe.

L’Argument d'un nombre complexe ajoute à la position du point la direction de la demi-droite issue de l’origine.

La fiche translation approfondit la transformation qui, en écriture complexe, se traduit par l’addition de l’affixe du vecteur de déplacement.