Forme trigonométrique d'un complexe

Dans le plan complexe, le nombre 1 + √3 i se repère par un point situé à une unité vers la droite et à √3 unités vers le haut. On peut décrire ce même point autrement : sa distance à l’origine vaut 2 et la direction du segment fait un angle de π/3 avec l’axe réel positif.

La forme trigonométrique enregistre précisément cette distance, appelée module, et cette direction, appelée argument. Elle transforme ainsi deux coordonnées en une longueur et un angle.

Soit un nombre complexe non nul z, dont la partie réelle est notée x et la partie imaginaire y. Son module, noté r, est la distance du point de coordonnées (x ; y) à l’origine. Il est strictement positif. Un argument de z est un angle orienté, noté θ, entre l’axe réel positif et le segment allant de l’origine au point qui représente z.

Ces grandeurs vérifient $r=\sqrt{x^2+y^2}r=\backslash sqrt\{x^2+y^2\}$, $\cos \theta =\frac{x}{r}\backslash cos\backslash theta=\backslash frac\{x\}\{r\}$ et $\sin \theta =\frac{y}{r}\backslash sin\backslash theta=\backslash frac\{y\}\{r\}$. La forme trigonométrique s’écrit alors :

Le module r est unique, mais l’argument ne l’est pas : pour tout entier k, les angles θ + 2kπ représentent le même complexe. La forme polaire est une autre appellation de cette écriture. Pour le nombre nul, le module vaut 0, mais aucun argument n’est défini ; l’écriture avec r = 0 ne détermine donc aucun angle.

On cherche la forme trigonométrique du nombre complexe z = 1 + √3 i. Les données sont sa partie réelle x = 1 et sa partie imaginaire y = √3. Le point associé est donc M(1 ; √3).

1. Calculer le module, noté r, à partir des deux coordonnées : $r=\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{4}=2r=\backslash sqrt\{1^2+\backslash left(\backslash sqrt\{3\}\backslash right)^2\}=\backslash sqrt\{4\}=2$.

2. Calculer le cosinus et le sinus de l’argument θ : $\cos \theta =\frac{1}{2}\backslash cos\backslash theta=\backslash frac\{1\}\{2\}$ et $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}\backslash sin\backslash theta=\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}$.

3. Identifier l’angle compatible avec ces deux signes et ces deux valeurs. On peut prendre θ = π/3 ; pour tout entier k, les autres arguments sont π/3 + 2kπ.

4. Écrire le résultat : $z=2(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3})z=2\backslash left(\backslash cos\backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}+i\backslash sin\backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash right)$.

Le contrôle consiste à revenir aux coordonnées : 2 cos(π/3) = 1 et 2 sin(π/3) = √3. On retrouve exactement 1 + √3 i. La représentation géométrique rend simultanément visibles le rayon 2 et l’angle π/3.

Pour situer un complexe dans le plan, la forme algébrique x + iy donne directement ses coordonnées. La forme trigonométrique devient préférable lorsque la distance à l’origine et la direction sont les informations que l’on veut lire.

Pour multiplier deux complexes non nuls, cette écriture évite de développer quatre produits : on multiplie leurs modules et on additionne leurs arguments. Le résultat se contrôle en revenant à la forme algébrique.

Pour calculer des puissances entières, le module est élevé à la puissance voulue et l’argument est multiplié par l’exposant. Pour un exposant négatif, cette règle suppose que le complexe est non nul. La forme algébrique reste souvent plus directe pour une simple addition, car les parties réelles et imaginaires s’additionnent séparément.

Forme trigonométrique et forme algébrique. La forme algébrique x + iy fournit les coordonnées cartésiennes du point ; la forme trigonométrique fournit son module et un argument. Pour z = 1 + √3 i, la première montre 1 et √3, tandis que la seconde montre 2 et π/3.

Argument et module. Le module est une longueur positive ou nulle, alors qu’un argument est un angle défini seulement pour un complexe non nul. Deux complexes peuvent donc avoir le même module sans avoir le même argument, par exemple 1 et i.

Le complexe nul. Quand le module r vaut 0, un angle quelconque θ donne toujours 0 dans l’écriture 0(cos θ + i sin θ). Pourtant, θ n’est pas un argument de 0. Il faut indiquer seulement que son module est nul.

La multiplicité des arguments. Un angle affiché par une calculatrice n’est qu’un représentant. Ajouter ou retrancher 2π ne change pas le complexe ; si un argument principal est demandé, il faut appliquer l’intervalle choisi dans le cours.

Le mauvais quadrant. La seule valeur de la tangente ne suffit pas, car deux angles séparés de π ont la même tangente. Il faut examiner les signes des parties réelle et imaginaire, ou utiliser une fonction qui tient compte des deux coordonnées.

Les unités d’angle. Les formules avec π supposent des radians. Si la calculatrice est réglée en degrés, π/3 doit être saisi comme 60° ; mélanger les deux unités produit un angle incohérent avec les signes du point.

Argument d'un nombre complexe précise la mesure de l’angle, ses représentants et les conventions d’argument principal.

Forme polaire replace cette même description par un rayon et un angle dans son vocabulaire géométrique.

La formule de Moivre prolonge le calcul des puissances en reliant directement l’exposant au module et à l’argument.