GéométrieNotion · Glossaire
racine n-ième d'un nombre complexe
Soit z un nombre complexe non nul d'argument α (défini modulo 2π) et de module r. Une racine n-ième de z est tout nombre complexe w tel que w^n = z. Les racines n-ièmes de z sont au nombre de n dans l'ensemble des complexes ; elles ont toutes le même module r^(1/n) et leurs arguments sont donnés par la formule α/n + 2kπ/n, où k prend les valeurs entières 0, 1, 2, …, n − 1. Ces n racines sont régulièrement réparties sur le cercle de rayon r^(1/n) dans le plan complexe, formant les sommets d'un polygone régulier à n côtés.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Calculer les n racines à partir du module et d'un argument du nombre complexe.
- Construire les trois racines cubiques de 8i et vérifier que leur cube redonne 8i.
- Interpréter l'espacement de 2π/n comme un polygone régulier centré à l'origine.
- Distinguer une racine n-ième d'une racine n-ième de l'unité.
- Traiter séparément z = 0, n = 1 et le changement de représentant de l'argument.
En clair
Chercher les racines cubiques de 8i revient à chercher les nombres complexes qui donnent 8i lorsqu'on les multiplie trois fois par eux-mêmes. Il n'y a pas une seule réponse : on en trouve trois.
Ces trois nombres sont à la même distance de l'origine. Seule leur direction change : un tiers de tour les sépare deux à deux. Dans le plan complexe, ils occupent donc les sommets d'un triangle équilatéral centré à l'origine.
Définition
Soit z un nombre complexe non nul, de module r strictement positif et d'argument α, et soit n un entier au moins égal à 1. Une racine n-ième de z est un nombre complexe w qui vérifie wn = z. Élever un complexe à la puissance n élève son module à cette puissance et multiplie son argument par n.
Les n solutions distinctes ont pour module la racine n-ième positive de r. Elles s'obtiennent en faisant varier l'entier k de 0 à n − 1 :
Deux arguments consécutifs diffèrent de 2π/n. Les points correspondants sont ainsi régulièrement espacés sur le cercle de centre l'origine et de rayon r1/n. Le choix d'un autre représentant de l'argument α permute les mêmes n racines, sans changer leur ensemble.
Un exemple, pas à pas
Cherchons les racines cubiques de z = 8i. Les données sont le module r = 8, un argument α = π/2 et l'indice n = 3. Nous cherchons donc trois nombres dont le cube vaut 8i.
1. Le module de chaque racine est 81/3 = 2.
2. Pour k égal à 0, 1 puis 2, les arguments sont respectivement π/6, 5π/6 et 3π/2. Ils diffèrent chaque fois de 2π/3.
3. Les trois racines sont : . Leur disposition exacte sur le cercle de rayon 2 forme un triangle équilatéral.
4. Contrôlons une racine sous forme trigonométrique : le cube de 2(cos(π/6) + i sin(π/6)) a pour module 23 = 8 et pour argument 3π/6 = π/2. Il vaut donc 8i. Le même contrôle ajoute trois fois 2π/3 à l'argument initial pour les deux autres racines, ce qui ne change pas le résultat modulo 2π.
En pratique
Pour résoudre une équation wn = z, on écrit d'abord z sous forme polaire : son module donne celui des solutions, et un argument donne leurs directions. Cette méthode est préférable au développement algébrique lorsque n dépasse 2 ou que z possède un argument simple.
Pour vérifier que toutes les solutions ont été trouvées, on compte n points et on contrôle un espacement angulaire de 2π/n. Si un point manque ou si deux directions coïncident, la liste est incomplète ou comporte un doublon.
Pour obtenir les racines n-ièmes d'un complexe z à partir des racines de l'unité, on calcule une seule racine w0, puis on la multiplie par chacune des n racines n-ièmes de 1. Cette voie est utile lorsqu'une première solution est déjà connue.
À ne pas confondre
Une racine n-ième n'est pas un argument divisé arbitrairement par n. Diviser seulement un représentant α donne une première direction ; il faut aussi ajouter 2kπ/n pour k allant de 0 à n − 1. Pour 8i et n = 3, π/6 ne fournit qu'une racine parmi trois.
La racine n-ième d'un complexe ne se confond pas avec une racine n-ième de l'unité. Les secondes vérifient un = 1 et ont toutes pour module 1. Dans l'exemple, les solutions ont pour module 2 ; les racines cubiques de l'unité servent seulement à passer de l'une aux autres.
Limites et pièges
Le cas z = 0 est à isoler : zéro n'a pas d'argument, et l'équation wn = 0 possède une seule solution distincte, w = 0. Elle est de multiplicité n comme racine du polynôme wn, mais elle ne forme pas un polygone à n sommets.
Le nombre n doit être un entier au moins égal à 1 dans cette définition. Pour n = 1, l'unique racine est z lui-même et le « polygone » se réduit à un point. Un exposant nul ou non entier relève d'une autre question et ne se traite pas par cette liste de n valeurs.
Un argument est défini modulo 2π. Utiliser α + 2π à la place de α peut décaler les indices, mais doit produire le même ensemble de racines. Si le résultat semble différent, il faut comparer les angles modulo 2π plutôt que terme à terme avec le même indice k.
Pour aller plus loin
Toutes les racines n-ièmes d'un complexe non nul s'obtiennent à partir d'une seule : si w0n = z, les autres sont les produits de w0 par les racines n-ièmes de l'unité. Cette structure explique à la fois leur nombre, leur espacement régulier et la rotation qui les permute.
Du point de vue polynomial, ces n nombres sont les zéros de Xn − z. Lorsque z est non nul, ils sont simples : aucun n'est répété. Le cas z = 0 montre pourquoi l'hypothèse de non-nullité change la géométrie autant que la multiplicité algébrique.
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