AnalyseFormule · Glossaire
formule de Moivre
La formule de Moivre est une identité fondamentale sur les nombres complexes qui relie la puissance entière d'un nombre complexe à son argument et à son module. Soit z un nombre complexe de module r et d'argument α, c'est-à-dire z = r(cos α + i sin α). Pour tout entier relatif n, la formule de Moivre affirme : z^n = r^n (cos nα + i sin nα). En particulier, lorsque z est sur le cercle unité (r = 1), la formule devient (cos α + i sin α)^n = cos nα + i sin nα. Cette identité est intimement liée à l'écriture exponentielle des complexes par la formule d'Euler : e^{iα} = cos α + i sin α, qui permet de la retrouver immédiatement par la propriété (e^{iα})^n = e^{inα}. Bien qu'elle porte le nom d'Abraham de Moivre, c'est Euler qui en a donné la démonstration rigoureuse et l'a reliée à la fonction exponentielle complexe. La formule de Moivre est utilisée pour calculer les puissances de nombres complexes, pour exprimer cos nα et sin nα en fonction de cos α et sin α, et pour déterminer les racines n-ièmes de l'unité.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la puissance d’un nombre complexe à son module et à son argument.
- Calculer pas à pas le cube de 1 + i et contrôler le résultat algébriquement.
- Reconnaître les restrictions liées à zéro, aux exposants négatifs et aux exposants non entiers.
- Distinguer la formule de Moivre de la formule d’Euler et d’un problème d’extraction de racines.
En clair
Imaginez un point qui représente un nombre complexe : sa distance au centre est son module, et la direction dans laquelle il se trouve est son argument. Élever ce nombre à une puissance entière transforme séparément ces deux informations. La distance est élevée à cette puissance, tandis que l’angle est multiplié par elle.
La formule de Moivre traduit précisément ce double mouvement. Sur le cercle unité, la distance reste égale à 1 : seule la direction change.
Définition
La formule de Moivre est une identité pour les puissances entières des nombres complexes. On considère un nombre complexe non nul noté z, son module positif noté r et l’un de ses arguments noté α. Son écriture trigonométrique est , où i est le nombre complexe dont le carré vaut −1.
Pour tout entier relatif noté n, la puissance de z a pour module r élevé à la puissance n et pour argument n fois α : . Lorsque n est négatif, la condition z non nul est indispensable. Pour n positif, la formule s’applique aussi à z = 0, mais l’argument de zéro n’est pas défini.
Si z est sur le cercle unité, alors r = 1 et le facteur rn disparaît. La formule se retrouve aussi grâce à la formule d’Euler . Elle sert notamment à calculer des puissances, à obtenir des expressions de cos(nα) et sin(nα), et à déterminer les racines n-ièmes de l’unité.
Le principe
Soit z un nombre complexe non nul, de module r et d’argument α, et soit n un entier relatif. Si , alors :
Autrement dit, la puissance agit sur le module par exponentiation et sur l’argument par multiplication. Pour un nombre du cercle unité, r vaut 1 et l’identité devient .
Quand l'utiliser
La donnée de départ est un nombre complexe sous forme trigonométrique, avec son module r et un argument α. L’exposant n doit être un entier. Si n est négatif, z doit être non nul, car une puissance négative demande de prendre l’inverse de z.
Un autre argument de z peut différer de α d’un multiple entier de 2π. Le résultat ne change pas, car multiplier cette différence par l’entier n conserve un multiple de 2π.
Le contre-cas z = 0 avec n = −1 bloque le calcul : 0 n’a ni argument ni inverse. Il faut alors constater que la puissance n’est pas définie, et non attribuer arbitrairement un angle à zéro. Pour une puissance entière positive de zéro, le calcul direct donne 0.
Un exemple, pas à pas
Calculons le cube du nombre complexe z = 1 + i. Son point a pour coordonnées (1 ; 1) : son module vaut √2 et un argument vaut π/4. La représentation associée montre que le cube allonge le module et fait passer l’angle de π/4 à 3π/4.
Données. Le nombre est z = 1 + i, son module est r = √2, son argument est α = π/4 et l’exposant est n = 3.
1. Écrivons z sous forme trigonométrique : .
2. Appliquons la formule : .
3. Comme (√2)3 = 2√2, cos(3π/4) = −√2/2 et sin(3π/4) = √2/2, on obtient z3 = −2 + 2i.
Le contrôle algébrique redonne le même résultat : (1 + i)2 = 2i, puis 2i(1 + i) = −2 + 2i. Le module du résultat vaut √8 = 2√2, comme prévu.
En pratique
Pour calculer une grande puissance d’un nombre complexe, on passe à la forme trigonométrique lorsque le module et l’argument sont simples. Le développement algébrique reste préférable pour une très petite puissance si les coordonnées sont déjà faciles à multiplier.
Pour exprimer cos(nα) et sin(nα) en fonction de cos α et sin α, on développe aussi la puissance du membre gauche, puis on identifie séparément les parties réelle et imaginaire.
Pour rechercher les racines n-ièmes de l’unité, on répartit les arguments possibles autour du cercle unité. La formule de Moivre vérifie ensuite que leur puissance n-ième vaut bien 1.
À ne pas confondre
Formule de Moivre et formule d’Euler. La formule d’Euler relie directement l’exponentielle complexe à cos α + i sin α. La formule de Moivre décrit une puissance entière. Pour transformer eiα, on emploie Euler ; pour calculer (cos α + i sin α)n, on emploie Moivre.
Puissance et racine n-ième. Une puissance part d’un nombre et produit une valeur. Une extraction de racines part de la valeur à atteindre et cherche tous ses antécédents. Ainsi, calculer z3 et résoudre w3 = z sont deux problèmes inverses, mais distincts.
Limites et pièges
Exposant négatif et nombre nul. Pour n < 0, la puissance utilise l’inverse de z. Le symptôme d’erreur est une division par zéro lorsque z = 0. Dans ce cas, la puissance n’est pas définie.
Argument non unique. Les angles α et α + 2kπ, où k est entier, représentent le même nombre complexe. Il ne faut pas traiter leurs résultats comme des valeurs différentes : après multiplication par n, ils diffèrent encore d’un multiple de 2π.
Exposant nul. Pour tout z non nul, n = 0 donne z0 = 1 : le module devient r0 = 1 et l’angle devient 0. L’écriture 00 ne relève pas de ce cas.
Exposant non entier. L’énoncé porte sur les entiers relatifs. Avec une racine ou une puissance complexe générale, plusieurs valeurs peuvent apparaître à cause des différents arguments. Il faut alors préciser une branche ou chercher explicitement toutes les valeurs.
Pour aller plus loin
formule d'Euler — Relier l’écriture trigonométrique à l’exponentielle complexe, dont la propriété des puissances conduit à la formule de Moivre.
Argument d'un nombre complexe — Approfondir l’angle associé à un complexe et comprendre pourquoi il est défini modulo 2π.
Racine n-ième de l'unité — Passer du calcul des puissances à la détermination des solutions régulièrement réparties sur le cercle unité.
Des nombres pas si complexes — Replacer module, argument et écriture trigonométrique dans une présentation générale des nombres complexes.
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