GéométrieReprésentation graphique · Glossaire
Représentation géométrique d'un nombre complexe
La représentation géométrique d'un nombre complexe consiste à associer à tout nombre complexe z = a + ib un point du plan, ou un vecteur du plan, de coordonnées cartésiennes (a, b). Le plan ainsi muni est appelé plan complexe ou plan d'Argand-Gauss. L'affixe d'un point M est le nombre complexe correspondant. Le module de z est la distance à l'origine, et l'argument est l'angle que fait le vecteur OM avec l'axe réel. L'écriture exponentielle z = r e^(i theta) encode module et argument.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Associer z = a + ib au point de coordonnées (a, b).
- Lire l'affixe, calculer le module et déterminer un argument.
- Traiter le complexe nul, la périodicité des arguments et les conventions du repère.
En clair
Imaginez une feuille quadrillée avec un axe horizontal et un axe vertical. Pour placer le nombre complexe 3 + 4i, avancez de 3 unités vers la droite, puis montez de 4 unités. Le point atteint représente ce nombre.
La position raconte alors deux choses à la fois : la distance du point à l'origine donne le module, tandis que sa direction depuis l'origine donne un argument. Un calcul algébrique devient ainsi une construction géométrique visible.
Définition
Dans un plan muni d'un repère orthonormé direct, le nombre complexe noté z, écrit sous la forme z = a + ib, est associé au point M de coordonnées (a, b). Le nombre réel a est la partie réelle de z ; le nombre réel b est sa partie imaginaire. Le nombre z est l'affixe de M. Il est aussi l'affixe du vecteur allant de l'origine O vers M. Cette correspondance est bijective : chaque complexe détermine un unique point, et réciproquement.
Le module de z, noté |z|, est la longueur OM. Il vérifie . Lorsque z n'est pas nul, un argument de z est un angle orienté θ entre l'axe réel positif et le vecteur OM. Tous ses arguments sont de la forme θ + 2kπ, où k est un entier.
En posant r = |z|, tout complexe non nul admet l'écriture exponentielle . Elle encode la distance r et une direction θ. Pour z = 0, le module vaut 0, mais aucun argument n'est défini.
Où on le rencontre
On rencontre cette représentation sur un repère à deux axes perpendiculaires. L'axe horizontal est l'axe réel, l'axe vertical est l'axe imaginaire, leur intersection est l'origine O et une même unité est utilisée sur les deux axes. Un point M porte souvent une étiquette indiquant son affixe.
Le support montre simultanément les deux composantes du complexe. La projection de M sur l'axe horizontal donne sa partie réelle ; sa projection sur l'axe vertical donne sa partie imaginaire. Le segment OM porte en plus l'information de distance et de direction.
Le mode d'emploi
Pour lire l'affixe d'un point M, commencez par sa coordonnée horizontale a, puis relevez sa coordonnée verticale b. Écrivez ensuite z = a + ib, en conservant le signe de b. Dans un repère orthonormé direct, mesurez la longueur OM pour obtenir |z| et l'angle orienté depuis l'axe réel positif vers OM pour obtenir un argument. Le sens positif des angles est le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Une pente visuellement forte ne suffit pas à lire l'argument si les axes n'ont pas la même échelle. Le bon réflexe consiste à vérifier le repère, puis à utiliser les coordonnées. Si a et b sont connus, le quadrant et la valeur de l'angle doivent être compatibles avec leurs signes.
Un exemple, pas à pas
On considère le nombre complexe z = 3 + 4i. Les données sont sa partie réelle 3, sa partie imaginaire 4, un repère orthonormé direct et l'origine O.
1. Le point M associé a pour coordonnées (3, 4) : il se place trois unités à droite et quatre unités au-dessus de O.
2. Le théorème de Pythagore donne le module : . La distance OM vaut donc exactement 5 unités.
3. Comme M est dans le premier quadrant, un argument θ est compris entre 0 et π/2. Il vérifie , d'où θ ≈ 0,927 radian, soit environ 53,1°.
4. L'écriture exponentielle est alors , avec θ ≈ 0,927 radian. Pour contrôler le résultat, on vérifie que 3² + 4² = 5² et que le point reconstitué reste dans le premier quadrant.
En pratique
Pour additionner deux complexes, on peut additionner leurs coordonnées. Géométriquement, le vecteur associé à la somme s'obtient par la règle du parallélogramme. Cette lecture est préférable lorsqu'on veut suivre un déplacement dans le plan.
Pour étudier une multiplication, la forme exponentielle devient souvent plus parlante que les coordonnées cartésiennes. Pour deux complexes non nuls z et w, |zw| = |z||w|, et un argument de zw est la somme d'un argument de z et d'un argument de w modulo 2π.
Pour résoudre un problème de lieu géométrique, une condition telle que |z| = 5 décrit un cercle de centre O et de rayon 5. Les coordonnées restent préférables si la condition porte séparément sur les parties réelle et imaginaire.
À ne pas confondre
Affixe et coordonnées. L'affixe est le nombre complexe z = a + ib ; les coordonnées du point associé sont le couple réel (a, b). Pour M(3, 4), l'affixe est 3 + 4i, et non le couple (3, 4).
Module et argument. Le module mesure une distance positive ou nulle, tandis qu'un argument mesure une direction angulaire. Pour z = 3 + 4i, le module vaut 5 et un argument vaut environ 0,927 radian : ces deux nombres ne jouent pas le même rôle.
Point et vecteur. Le point M indique une position ; le vecteur OM indique un déplacement depuis l'origine. Ils peuvent avoir la même affixe, mais un vecteur de même direction et de longueur différente n'a pas la même affixe.
Limites et pièges
Le complexe nul. Lorsque z = 0, le point associé est l'origine et le module vaut 0. Le vecteur OM n'a alors aucune direction : il ne faut attribuer aucun argument à 0.
Un angle, plusieurs écritures. Si θ est un argument d'un complexe non nul, θ + 2kπ l'est aussi pour tout entier k. Deux angles qui diffèrent de 2π décrivent donc la même direction ; on précise « argument principal » lorsqu'une convention en choisit un seul.
Le quadrant compte. La seule égalité tan(θ) = b/a ne détermine pas toujours la bonne direction et n'est pas utilisable quand a = 0. Il faut d'abord examiner les signes de a et b, puis choisir l'angle dans le quadrant correspondant.
Le repère porte une convention. Les formules usuelles de distance et d'angle supposent un repère orthonormé direct. Avec des échelles différentes ou une orientation inversée, la position (a, b) reste définie, mais une lecture visuelle de la longueur ou du sens de l'angle devient trompeuse.
Pour aller plus loin
L'article Un nombre complexe, c'est quoi ? replace cette représentation dans l'ensemble des écritures et des opérations sur les complexes.
La fiche Argument d'un nombre complexe approfondit la mesure de la direction, ses multiples de 2π et les conventions de choix d'un argument.
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