Histoire et cultureNotion · Glossaire
Forme polaire
La forme polaire d'un nombre complexe non nul est son écriture sous la forme z = r * (cos theta + i sin theta), où r = |z| est le module (distance à l'origine) et theta = arg(z) est l'argument (angle avec l'axe réel positif). Pour z = 0, le module vaut 0, mais aucun argument n'est défini. Cette représentation est souvent notée z = r * e^(i*theta) grâce à la formule d'Euler. La forme polaire est particulièrement avantageuse pour multiplier et diviser des nombres complexes : les modules se multiplient et les arguments s'additionnent.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier les coordonnées cartésiennes au module et à l’argument.
- Convertir −1 + √3 i en forme polaire par un calcul contrôlable.
- Choisir la forme polaire pour un produit ou un quotient.
- Éviter les erreurs liées au complexe nul, au quadrant et à la périodicité des angles.
En clair
Dans le plan complexe, un nombre complexe se voit comme un point. On peut indiquer sa position par deux déplacements, horizontal et vertical. La forme polaire choisit deux autres repères : la distance du point à l’origine et la direction dans laquelle il se trouve.
Cette distance est le module ; l’angle mesuré depuis l’axe réel positif est un argument. Pour le point associé à −1 + √3 i, la distance vaut 2 et la direction peut être décrite par l’angle 2π/3.
Définition
Soit un nombre complexe non nul noté z. Sa partie réelle est notée x et sa partie imaginaire y, de sorte que z = x + iy. Son module, noté r = |z|, est la distance à l’origine ; il est strictement positif. Un argument, noté θ, est un angle orienté entre l’axe réel positif et le vecteur qui représente z.
Avec ces notations, la forme polaire, aussi appelée forme trigonométrique, est . La formule d’Euler donne la variante exponentielle . L’angle n’est pas unique : ajouter un multiple entier de 2π décrit la même direction. Le nombre zéro a un module nul, mais aucun argument.
Pour multiplier deux nombres complexes non nuls, on multiplie leurs modules et on additionne leurs arguments. Pour les diviser, on divise les modules et on soustrait les arguments ; le diviseur doit être non nul.
Un exemple, pas à pas
On veut écrire z = −1 + √3 i sous forme polaire. Données : sa partie réelle vaut −1 et sa partie imaginaire vaut √3. Le point correspondant est donc situé dans le deuxième quadrant.
1. Calcul du module : .
2. Recherche de la direction : le quotient de la partie réelle par le module vaut −1/2, et celui de la partie imaginaire par le module vaut √3/2. Il faut donc un angle du deuxième quadrant dont le cosinus vaut −1/2 et le sinus √3/2.
3. Un tel angle est θ = 2π/3. On obtient .
4. Contrôle : 2 cos(2π/3) = −1 et 2 sin(2π/3) = √3. Les parties réelle et imaginaire retrouvées sont bien celles de départ.
En pratique
Pour un produit, la forme polaire évite de développer quatre termes. On multiplie les distances et on additionne les directions. La forme algébrique reste préférable pour une somme, car elle aligne directement les parties réelles et imaginaires.
Pour un quotient, on choisit la forme polaire lorsque les modules et les arguments sont déjà connus : les modules se divisent et les angles se soustraient. Si le diviseur est nul, aucune écriture ne rend la division possible.
Pour lire la position d’un complexe dans le plan, la forme polaire met immédiatement en évidence son éloignement de l’origine et sa direction. Les coordonnées cartésiennes conviennent mieux lorsque les déplacements horizontal et vertical sont l’information recherchée.
À ne pas confondre
Forme polaire et forme algébrique. La forme algébrique donne les deux coordonnées x et y dans x + iy. Pour un complexe non nul, la forme polaire donne un module et un argument. Ainsi, −1 + √3 i et 2e2iπ/3 sont deux écritures du même nombre, pas deux nombres différents.
Module et argument. Le module est une distance, donc un nombre réel jamais négatif. L’argument est une direction angulaire, définie à un multiple de 2π près. Deux complexes peuvent avoir le même module sans avoir le même argument : 1 et i sont tous deux à distance 1 de l’origine, mais leurs directions diffèrent.
Limites et pièges
Le complexe nul. Lorsque z = 0, le module vaut 0 et le point est à l’origine. Aucune direction ne peut alors être privilégiée : il ne faut pas lui attribuer un argument.
La non-unicité de l’angle. Les angles θ et θ + 2kπ, où k est un entier, conduisent au même complexe. Si un seul angle est demandé, il faut annoncer l’intervalle choisi pour l’argument principal.
Le mauvais quadrant. Le seul rapport y/x ne suffit pas à choisir l’angle, car la tangente prend la même valeur dans deux directions opposées. Pour −1 + √3 i, les signes x < 0 et y > 0 imposent le deuxième quadrant, donc 2π/3 plutôt que −π/3.
La division par zéro. La règle qui divise les modules s’arrête dès que le module du diviseur vaut 0. Dans ce cas, le quotient n’est pas défini ; aucune soustraction d’arguments ne doit être effectuée.
Pour aller plus loin
Argument d'un nombre complexe précise les conventions d’angle et la manière de repérer une direction dans le plan complexe.
formule d'Euler relie l’écriture trigonométrique à l’écriture exponentielle utilisée dans la forme polaire.
Des nombres pas si complexes replace module, argument et calculs dans une présentation plus large des nombres complexes.
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