ArithmétiqueNotion · Glossaire
Partie imaginaire
La partie imaginaire d'un nombre complexe z = a + ib est le nombre réel b. Elle est notée Im(z) ou Im z. Contrairement à une idée reçue, la partie imaginaire est un nombre réel. Associée à la partie réelle, elle permet d'identifier entièrement un nombre complexe. La partie imaginaire vérifie Im(z + w) = Im(z) + Im(w) et Im(iz) = Re(z). Elle est nulle si et seulement si le nombre est réel.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la partie imaginaire dans la forme a + ib.
- Lire Im(z) comme une ordonnée dans le plan complexe.
- Distinguer la partie imaginaire du terme imaginaire, du module et de l’argument.
- Vérifier les identités Im(z + w) et Im(iz) sur un exemple exact.
En clair
Dans le plan complexe, le nombre 3 − 4i se place au point de coordonnées (3 ; −4). Le premier nombre indique sa position horizontale. Le second, −4, donne sa position verticale : c’est sa partie imaginaire.
Ainsi, malgré son nom, la partie imaginaire est le nombre réel −4, et non le terme −4i. Avec la partie réelle 3, elle suffit à retrouver exactement le nombre complexe 3 − 4i.
Définition
Tout nombre complexe z s’écrit de manière unique sous la forme algébrique , où a et b sont des nombres réels et où le nombre i vérifie . La partie imaginaire de z est le coefficient réel b. Elle se note Im(z) ou Im z. La partie réelle est a ; le couple (a, b) détermine donc entièrement z. En particulier, z est réel si et seulement si Im(z) = 0.
Pour deux nombres complexes z = a + ib et w = c + id, l’addition se fait coefficient par coefficient. On obtient ainsi . Multiplier z par i donne iz = −b + ia : la partie imaginaire du produit est alors la partie réelle de z, soit Im(iz) = Re(z).
Le conjugué de z, noté , vaut a − ib. Il fournit une autre expression de la partie imaginaire : . Le quotient est bien réel, même si son écriture emploie i.
Un exemple, pas à pas
On considère le nombre complexe z = 3 − 4i. Les données sont le coefficient réel 3, le coefficient de i égal à −4 et la relation i2 = −1. La figure représente le point associé à z et sa projection sur l’axe imaginaire.
1. Écrire z sous la forme a + ib donne a = 3 et b = −4.
2. Lire le coefficient réel de i donne directement Im(z) = −4. Le terme imaginaire de l’écriture est −4i, mais la partie imaginaire est −4.
3. Multiplier par i conduit au calcul exact suivant :
4. Le résultat donne Im(iz) = 3, ce qui coïncide avec Re(z) = 3. Ce contrôle refaisable vérifie simultanément la lecture de z et l’identité Im(iz) = Re(z).
En pratique
Dans une écriture algébrique, on repère le coefficient de i. Pour z = 3 − 4i, cette lecture donne Im(z) = −4. Si le nombre est donné sous une autre forme, il faut d’abord le réécrire sous la forme a + ib.
Dans le plan complexe, la partie imaginaire est l’ordonnée du point associé au nombre. La projection sur l’axe vertical est donc préférable à une lecture du module, qui mesure une distance à l’origine et non une hauteur signée.
Pour vérifier qu’un complexe est réel, on calcule sa partie imaginaire. Une valeur nulle suffit et est nécessaire ; avec z = 3 − 4i, la valeur −4 montre immédiatement que z n’est pas réel.
À ne pas confondre
Partie imaginaire et terme imaginaire. Dans z = 3 − 4i, la partie imaginaire est le réel −4, tandis que le terme imaginaire de l’écriture est −4i. Le critère consiste à vérifier si le facteur i est encore présent.
Partie imaginaire et module. La partie imaginaire est une coordonnée signée ; le module est une distance toujours positive ou nulle. Pour z = 3 − 4i, Im(z) = −4 alors que le module de z vaut 5.
Partie imaginaire et argument. La partie imaginaire donne l’ordonnée du point ; un argument donne une direction angulaire, définie à un tour près pour un complexe non nul. Deux nombres placés sur une même demi-droite peuvent avoir le même argument et des parties imaginaires différentes.
Limites et pièges
Coefficient absent. Dans le réel 3, le terme en i est absent : son coefficient vaut 0, donc Im(3) = 0. Ce seuil est décisif : un nombre complexe est réel exactement lorsque sa partie imaginaire est nulle.
Coefficient implicite. Dans 3 − i, le coefficient de i est −1 et non 0. Il faut rendre ce coefficient visible en lisant 3 − i comme 3 + (−1)i.
Forme non algébrique. Dans une écriture polaire ou exponentielle, aucune partie imaginaire ne se lit comme un coefficient déjà isolé. Il faut convertir le nombre en a + ib, ou calculer son ordonnée à partir de la forme donnée.
Produit. L’additivité de la partie imaginaire ne la rend pas multiplicative. Pour z = 3 − 4i, Im(z2) = −24, tandis que Im(z)2 = 16 ; il faut développer le produit avant d’en lire le coefficient de i.
Pour aller plus loin
La partie réelle complète la paire de coordonnées qui détermine entièrement un nombre complexe.
Le plan complexe donne une lecture géométrique de la partie imaginaire comme ordonnée du point associé.
L’argument d’un nombre complexe relie les deux coordonnées à la direction du point depuis l’origine.
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