GéométrieNotion · Glossaire
Imaginaire pur
Un nombre complexe est dit imaginaire pur s'il est de la forme z = ib, où b est un réel non nul et i est l'unité imaginaire vérifiant i² = -1. La partie réelle d'un nombre imaginaire pur est nulle. Ces nombres se représentent sur l'axe imaginaire du plan complexe. Le nombre i lui-même est l'imaginaire pur unité. Par convention, certains auteurs incluent 0 dans les imaginaires purs, d'autres non. Les imaginaires purs apparaissent naturellement dans la représentation des fréquences complexes en analyse de signaux.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un imaginaire pur par sa partie réelle nulle.
- Placer z = −3i sur l'axe imaginaire et contrôler son module.
- Distinguer un imaginaire pur de sa partie imaginaire.
- Traiter explicitement la convention variable concernant 0.
En clair
Dans le plan complexe, prenez le point qui représente z = −3i. Il ne se décale ni à droite ni à gauche : sa partie réelle vaut 0. Il descend de trois unités sur l'axe imaginaire, car sa partie imaginaire vaut −3.
C'est le portrait d'un imaginaire pur : tout le nombre se trouve dans la direction imaginaire. Le signe et la taille du coefficient peuvent changer, mais aucun terme réel non nul ne s'ajoute.
Définition
Tout nombre complexe s'écrit sous la forme a + ib, où a et b sont des nombres réels et où l'unité imaginaire i vérifie i² = −1. Le réel a est la partie réelle du nombre ; le réel b est sa partie imaginaire. Un nombre complexe est imaginaire pur lorsque a = 0 : il s'écrit alors z = ib. Selon la convention retenue, on impose aussi b ≠ 0 ou l'on accepte b = 0.
Dans le plan complexe, le point associé à z a pour coordonnées (a, b). Les imaginaires purs occupent donc l'axe vertical, appelé axe imaginaire. Le nombre i correspond au coefficient b = 1 ; il constitue l'imaginaire pur unité. Par exemple, z = −3i a pour partie réelle 0, pour partie imaginaire −3 et pour coordonnées (0, −3).
Pour un imaginaire pur non nul z = ib, son module est la valeur absolue |b|. Son argument vaut π/2 modulo 2π si b est positif, et −π/2 modulo 2π si b est négatif. Cette lecture relie directement la forme algébrique à la position sur l'axe imaginaire.
Un exemple, pas à pas
Déterminons si z = −3i est un imaginaire pur, puis situons-le. Les données sont l'écriture z = 0 + i × (−3), l'unité imaginaire i et le coefficient réel −3. Le plan complexe représente exactement les coordonnées obtenues.
1. On compare z à la forme a + ib. On lit a = 0 et b = −3.
2. La partie réelle est nulle et le coefficient b est un réel non nul. Le nombre z satisfait donc la définition d'un imaginaire pur, y compris dans la convention qui exclut 0.
3. Le point associé a pour coordonnées (0, −3). Il se place sur l'axe imaginaire, trois unités sous l'origine.
4. Son module vaut |−3| = 3 et un argument vaut −π/2. Pour contrôler, on repart des coordonnées : l'abscisse 0 confirme la partie réelle nulle, et la distance de (0, −3) à l'origine vaut bien 3.
En pratique
Pour classer un nombre donné sous la forme a + ib, on regarde d'abord a. Si a = 0 et si b respecte la convention de non-nullité retenue, le nombre est imaginaire pur ; si a ≠ 0, on le garde comme nombre complexe général.
Pour placer un nombre dans le plan complexe, on utilise le point de coordonnées (a, b). Une abscisse nulle impose l'axe imaginaire. Avec z = −3i, l'ordonnée −3 fixe à la fois le côté de l'origine et la distance 3.
En analyse de signaux, les imaginaires purs apparaissent dans la représentation de fréquences complexes. Le test reste algébrique : une partie réelle nulle place la fréquence sur l'axe imaginaire ; une partie réelle non nulle impose le cadre complexe général.
À ne pas confondre
Un nombre complexe non réel n'est pas forcément imaginaire pur. Le nombre 2 − 3i possède une partie imaginaire non nulle, mais sa partie réelle vaut 2 ; il n'est donc pas sur l'axe imaginaire.
La partie imaginaire de z = −3i est le nombre réel −3, et non le terme −3i. Le nombre z est un imaginaire pur, tandis que sa partie imaginaire est un réel.
L'unité imaginaire i est un nombre précis, caractérisé par i² = −1. Un imaginaire pur est tout multiple réel ib admis par la convention ; 4i et −3i ne sont donc pas l'unité i.
Limites et pièges
Le cas z = 0. Sa partie réelle est nulle et il s'écrit i × 0, mais la source adopte d'abord la condition b ≠ 0. Certains auteurs l'incluent tout de même parmi les imaginaires purs. Il faut donc annoncer la convention avant de classer 0.
L'argument à l'origine. Les nombres imaginaires purs non nuls ont pour arguments π/2 ou −π/2 modulo 2π selon le signe de b. Si une convention inclut 0, cette règle ne s'y prolonge pas : l'argument de 0 n'est pas défini.
Opérations. Une somme de formes ib garde cette forme, mais deux termes opposés donnent 0, dont le statut dépend de la convention. La multiplication quitte généralement l'axe imaginaire : (−3i) × (−3i) = −9, qui est réel et non imaginaire pur. Il faut donc reclasser le résultat.
Pour aller plus loin
La fiche Partie imaginaire précise le réel b extrait de a + ib, distinction essentielle entre b et le terme ib.
La fiche Argument d'un nombre complexe approfondit l'angle associé à un point non nul du plan complexe.
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