GéométrieNotion · Glossaire
Warren John
John Warren (1796-1852) est un mathématicien anglais. Il est connu pour avoir proposé, indépendamment d'Argand, une interprétation géométrique des nombres complexes, qu'il présente en 1828 dans son ouvrage intitulé Traité sur la représentation géométrique des racines carrées des quantités négatives. Dans cette représentation, les nombres complexes sont figurés comme des points ou des vecteurs dans le plan, associant leur partie réelle à l'axe horizontal et leur partie imaginaire à l'axe vertical.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer John Warren, ses dates et la publication de 1828 mentionnée par la source.
- Relier les parties réelle et imaginaire aux axes horizontal et vertical.
- Construire et contrôler la représentation du complexe 3 + 2i.
- Distinguer la contribution de Warren de l'appellation plan d'Argand.
En clair
En 1828, John Warren donne une lecture visuelle des nombres complexes. Au lieu de ne voir que l'écriture 3 + 2i, on place un point en avançant de 3 unités horizontalement, puis de 2 unités verticalement.
Le même nombre peut aussi être représenté par une flèche partant de l'origine et arrivant à ce point. Cette correspondance transforme deux composantes algébriques en une position dans le plan : la partie réelle se lit horizontalement et la partie imaginaire verticalement.
Définition
John Warren est un mathématicien anglais né en 1796 et mort en 1852. Sa contribution présentée en 1828 consiste à interpréter géométriquement les nombres complexes, indépendamment d'Argand. Elle paraît dans le Traité sur la représentation géométrique des racines carrées des quantités négatives.
Un nombre complexe s'écrit sous la forme , où a est sa partie réelle, b sa partie imaginaire et i vérifie i2 = −1. Warren associe ce nombre au point de coordonnées (a ; b), ou au vecteur allant de l'origine à ce point. L'axe horizontal porte donc les valeurs réelles et l'axe vertical les valeurs imaginaires. Cette correspondance est le contenu mathématique essentiel de son interprétation.
Un exemple, pas à pas
On veut représenter le nombre complexe z = 3 + 2i. Les données sont sa partie réelle 3, sa partie imaginaire 2, un axe horizontal réel et un axe vertical imaginaire.
1. Sur l'axe horizontal, partez de l'origine et repérez l'abscisse 3.
2. Depuis cette position, montez jusqu'à l'ordonnée 2.
3. Marquez le point M de coordonnées (3 ; 2).
4. Tracez, si vous choisissez la lecture vectorielle, la flèche allant de l'origine O au point M.
2. Depuis cette position, montez jusqu'à l'ordonnée 2.
3. Marquez le point M de coordonnées (3 ; 2).
4. Tracez, si vous choisissez la lecture vectorielle, la flèche allant de l'origine O au point M.
Le point M et le vecteur OM représentent ici le même complexe z. Pour contrôler la construction, relisez ses coordonnées : l'horizontale donne 3 et la verticale donne 2, donc l'écriture retrouvée est bien z = 3 + 2i.
En pratique
Pour placer un nombre complexe, séparez d'abord ses deux composantes. La partie réelle fixe le déplacement horizontal ; la partie imaginaire fixe le déplacement vertical. Cette lecture convient lorsqu'une position ou une direction doit devenir visible.
Pour retrouver l'écriture algébrique à partir d'un point, lisez son abscisse puis son ordonnée. Le point (3 ; 2) redonne 3 + 2i. Si seul un calcul symbolique est demandé, l'écriture algébrique reste plus directe que le dessin.
La lecture par point met l'accent sur la position. La lecture par vecteur met l'accent sur le déplacement depuis l'origine. Le choix change la manière de regarder la figure, pas le nombre complexe représenté.
À ne pas confondre
John Warren et Argand. La source attribue à Warren une proposition formulée indépendamment d'Argand. Parler du « plan d'Argand » nomme une représentation aujourd'hui associée à Argand ; cela ne signifie pas que Warren aurait simplement repris son travail.
Point et vecteur. Un point donne une position, tandis qu'un vecteur donne un déplacement et peut être translaté. Pour z = 3 + 2i, le point M(3 ; 2) et le vecteur OM, ici attaché à l'origine, codent les mêmes deux composantes, mais ce ne sont pas le même objet géométrique.
Limites et pièges
Une convention d'axes est indispensable. Dans la représentation décrite ici, le réel est horizontal et l'imaginaire vertical. Si les axes ou leur sens ne sont pas indiqués, une position isolée ne suffit pas à relire sans ambiguïté les deux composantes.
Le vecteur doit partir de l'origine. Une flèche de mêmes composantes peut être translatée dans le plan, mais son extrémité seule ne représente alors plus le point (a ; b). Pour identifier directement le complexe, on utilise le vecteur allant de O à ce point.
Le dessin n'abolit pas la distinction entre réel et imaginaire. Dans 3 + 2i, la valeur 2 reste le coefficient de i ; elle ne devient pas une seconde partie réelle parce qu'elle est placée sur un axe du plan. Il faut relire chaque coordonnée avec le nom de son axe.
Pour aller plus loin
Le Diagramme d'Argand prolonge la représentation plane des complexes et permet d'en approfondir le vocabulaire géométrique.
L'article Les racines dans le monde complexe replace la question des racines dans le cadre complexe évoqué par le titre de l'ouvrage de Warren.
La fiche Argument d'un nombre complexe montre quelle information angulaire peut ensuite être lue dans cette représentation plane.
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