Wessel Caspar

Imaginez une feuille quadrillée. Un nombre complexe peut y être placé comme un point : sa partie réelle donne le déplacement horizontal et sa partie imaginaire le déplacement vertical. Wessel a compris que l'on pouvait ainsi voir les nombres et leurs calculs, plutôt que les manipuler seulement avec des symboles. L'addition déplace un point comme l'ajout d'une flèche à une autre. La multiplication fait intervenir une longueur et une rotation, ce qui donne une image géométrique très concrète du calcul.

La représentation géométrique d'un nombre complexe associe à a + bi le point de coordonnées (a, b) dans un repère orthonormé. Le nombre réel a mesure le déplacement sur l'axe horizontal, tandis que b mesure celui de l'axe vertical. Le point peut aussi être lu comme le vecteur allant de l'origine à (a, b).

Cette lecture transforme les opérations. L'addition de deux complexes correspond à l'addition de leurs vecteurs, donc à la règle du parallélogramme et à la relation de Chasles. Pour le produit, si les complexes sont non nuls, les longueurs se multiplient et les angles orientés s'additionnent : multiplier revient à composer des rotations et des agrandissements. Le cas nul demande une précaution, car son angle n'est pas défini. Les mots « module » et « argument » désignent respectivement la longueur du vecteur et son angle orienté avec l'axe réel positif.

Wessel présente cette interprétation dans un mémoire publié en 1799. Son travail porte aussi sur les polygones plans et sphériques, mais il reste ignoré jusqu'à sa traduction française en 1897. Argand, Gauss et Cauchy retrouvent ensuite indépendamment cette représentation ; la terminologie actuelle ne leur attribue donc pas la même part que l'idée initiale exposée par Wessel.

Prenons le complexe z = 1 + i, où i désigne l'unité imaginaire vérifiant i² = −1. Dans le plan complexe, z est le point (1, 1), ou le vecteur allant de l'origine à ce point. Le même exemple permet de voir séparément l'addition et le produit.

Pour additionner z à lui-même, on additionne les coordonnées horizontales et verticales : la première composante devient 1 + 1 = 2, et la seconde devient 1 + 1 = 2. Le résultat est donc 2 + 2i, représenté par le point (2, 2). Il s'agit de la règle du parallélogramme appliquée à deux vecteurs identiques.

Pour multiplier z par lui-même, on développe le produit : (1 + i)(1 + i) = 1 + 2i + i² = 2i. Géométriquement, le module de z vaut √2 ; le produit a donc un module égal à 2 et un argument égal à π/2. Le point final est (0, 2) : deux rotations d'angle π/4 composent une rotation d'angle π/2.

Cette représentation permet de passer rapidement d'un calcul à une image. Pour z = 1 + i, le point (1, 1) indique à la fois ses deux composantes et la direction de son vecteur. L'addition z + z mène au point (2, 2), tandis que le produit z² mène au point (0, 2). Le premier résultat double la flèche ; le second combine sa longueur et sa direction.

Dans une résolution, le plan complexe aide ainsi à contrôler le signe d'une partie réelle ou imaginaire et le sens d'une rotation. Il ne remplace pas les règles algébriques : il les rend visibles et fournit une vérification géométrique indépendante.

La représentation géométrique des complexes n'est pas une simple métaphore graphique. Le point (a, b) code exactement le nombre a + bi, et les opérations géométriques reproduisent les opérations algébriques dans le plan complexe. Elle ne doit pas non plus être confondue avec une carte géographique : les axes représentent des composantes numériques, sans unité spatiale imposée.

Pour un complexe non nul, le vecteur associé indique une direction et une longueur ; pour le complexe nul, sa longueur est nulle et sa direction n'est pas définie. Le complexe conserve aussi une écriture algébrique. Enfin, le module n'est pas le nombre complexe lui-même : c'est la longueur du vecteur. L'argument n'est pas une pente ; c'est un angle orienté, défini à un multiple entier de 2π près pour un complexe non nul.

Le point représentant 0 est l'origine. Son module vaut 0, mais son argument n'est pas défini : aucune direction privilégiée ne part de l'origine. La formule qui additionne les arguments des facteurs ne s'applique donc qu'à des complexes non nuls.

Un même complexe non nul possède une infinité d'arguments, car ajouter 2π ne change pas la direction. Une convention de branche peut choisir un représentant, mais ce choix n'est pas contenu dans le nombre lui-même. De même, le produit par un complexe combine rotation et changement d'échelle ; parler de rotation seule est exact seulement lorsque le facteur a un module égal à 1.

Sur le plan historique, il faut distinguer l'antériorité de Wessel, la reprise indépendante par Argand, Gauss et Cauchy, et la diffusion ultérieure de la terminologie. La source indique une publication en 1799 et une traduction française en 1897, mais elle ne permet pas d'attribuer à une seule personne toute la postérité du concept.

L'idée de Wessel ouvre sur le plan complexe, où l'algèbre et la géométrie décrivent le même objet. La forme polaire rend particulièrement visible le produit : le module règle l'échelle et l'argument règle la rotation. Cette lecture prépare aussi l'étude des transformations du plan par les nombres complexes.

Le lien local « Des nombres pas si complexes » prolonge cette découverte vers une présentation plus large des nombres complexes. Pour une lecture historique, le mémoire de 1799 rappelle que la représentation géométrique s'inscrit dans un travail consacré à la direction et aux polygones plans et sphériques.