module sur un anneau

Prenez les couples de restes modulo 6, comme (2, 5). On peut additionner deux couples, puis multiplier chaque coordonnée par un entier, en ramenant toujours les résultats parmi 0, 1, 2, 3, 4 et 5. Par exemple, trois fois (2, 5) donne (0, 3), car 6 laisse le reste 0 et 15 le reste 3.

Ces couples forment un module sur l’anneau des entiers. Le geste ressemble au calcul vectoriel, mais un scalaire non nul ne possède pas toujours d’inverse.

Soit A un anneau unitaire. Un module à gauche sur A est un groupe abélien (M, +) muni d’une action externe : à un scalaire a de A et à un élément x de M, elle associe un élément de M noté a·x. Cette action doit respecter l’addition dans M, l’addition et la multiplication dans A, ainsi que l’unité de A.

Pour tous les scalaires a et b de A et tous les éléments x et y de M, les quatre axiomes sont :

Un module à droite place le scalaire après l’élément : x·a. L’associativité devient alors x·(ba) = (x·b)·a. Si A est commutatif, une action à gauche donne naturellement une action à droite en posant x·a = a·x. Lorsque A est un corps, tout module sur A est précisément un espace vectoriel.

Un module réunit quatre ingrédients. L’anneau unitaire A fournit les scalaires et leur produit. Le groupe abélien M fournit les éléments, leur addition et un élément nul. L’action externe transforme un couple formé d’un scalaire et d’un élément en un nouvel élément de M. Enfin, les quatre axiomes relient cette action aux deux additions, au produit des scalaires et à l’unité.

L’action dépend donc à la fois de la structure de A et de celle de M : changer seulement la règle a·x peut donner un autre module sur les mêmes ensembles. Le côté de l’action fait aussi partie des données lorsque A n’est pas commutatif. Ces éléments suffisent à parler de sous-modules, d’applications linéaires et de familles génératrices.

On prend pour anneau A = ℤ et pour groupe M = (ℤ/6ℤ)². Un entier multiplie chaque coordonnée modulo 6. On choisit x = (2, 5), y = (1, 4), ainsi que les scalaires a = 3 et b = 2.

1. Additionner dans M. On obtient x + y = (3, 3), car 5 + 4 laisse le reste 3 modulo 6.

2. Tester la distributivité sur M. D’un côté, 3·(x + y) = 3·(3, 3) = (3, 3). De l’autre, 3·x = (0, 3) et 3·y = (3, 0), donc 3·x + 3·y = (3, 3).

3. Tester l’addition des scalaires. Le calcul (3 + 2)·x donne 5·(2, 5) = (4, 1). La somme 3·x + 2·x donne aussi (0, 3) + (4, 4) = (4, 1).

4. Tester le produit des scalaires. Comme 3 × 2 = 6, on a 6·x = (0, 0). Or 2·x = (4, 4), puis 3·(4, 4) = (0, 0). Enfin, 1·x = x.

Les deux chemins représentés aboutissent au même couple (3, 3). Ils contrôlent ici le premier axiome ; le calcul coordonnée par coordonnée l’établit pour tous les couples.

Pour étudier les solutions d’un système d’équations linéaires homogène à coefficients dans un anneau, on rassemble les solutions dans un module. Pour un système non homogène qui admet des solutions, celles-ci forment en général un sous-ensemble affine. Si les coefficients appartiennent à un corps, le langage des espaces vectoriels suffit ; sinon, celui des modules conserve l’action des scalaires sans supposer leur division.

Pour suivre des calculs modulo un entier, les groupes ℤ/nℤ et leurs produits sont naturellement des modules sur ℤ. On emploie cette structure lorsque l’addition et la multiplication par des entiers comptent, même si la division par un entier non nul peut échouer.

Pour étudier un anneau A avec ses propres multiplications, on peut regarder A comme un module sur lui-même. Ses sous-modules à gauche sont alors exactement ses idéaux à gauche ; si l’on veut seulement les propriétés multiplicatives de l’anneau, le point de vue de module n’est pas le plus informatif.

Module d’un nombre ou d’un vecteur. Pour un réel, ce mot désigne la valeur absolue ; pour un vecteur, sa norme. Pour un complexe z = a + ib, le module vaut √(a² + b²), soit la distance entre l’origine et le point image de z. Le test est le type d’objet : |−3| = 3 est un nombre, tandis qu’un module sur un anneau est une structure composée d’un groupe, d’un anneau et d’une action.

Espace vectoriel. Ses scalaires forment un corps, donc tout scalaire non nul est inversible. Dans le ℤ-module ℤ/6ℤ, le scalaire 2 est non nul mais 2·3 = 0 modulo 6 ; cette annulation ne peut pas se produire dans un espace vectoriel avec un scalaire non nul et un vecteur non nul.

Idéal d’un anneau. Un idéal à gauche de A est un sous-groupe du groupe additif de A, stable par multiplication à gauche par les éléments de A : c’est donc un sous-module du module A. Un module général, comme (ℤ/6ℤ)², n’est pas pour autant un idéal de son anneau de scalaires.

Le côté de l’action compte. Sur un anneau non commutatif, les relations (ab)·x = a·(b·x) et x·(ba) = (x·b)·a ne décrivent pas automatiquement la même structure. Il faut annoncer « à gauche » ou « à droite » et conserver cet ordre dans les calculs.

La convention sur l’unité doit être annoncée. Ici, l’anneau possède une unité et celle-ci agit comme l’identité : 1·x = x. Des textes autorisent des anneaux sans unité ou des actions non unitaires ; leurs « modules » ne satisfont pas nécessairement cet axiome.

Une famille génératrice n’est pas toujours une base. Le ℤ-module ℤ/6ℤ est engendré par la classe de 1, mais cette classe vérifie la relation non triviale 6·1 = 0. Il faut vérifier l’indépendance et l’unicité des coordonnées avant de parler de module libre ou de base.

Le module nul est permis. Lorsque M ne contient que 0, les quatre axiomes sont satisfaits pour tout anneau unitaire. Ce cas dégénéré ne fournit aucun élément non nul, mais il reste nécessaire dans les constructions et les raisonnements généraux.

La fiche sur l’espace vectoriel permet de comparer le cas où tous les scalaires non nuls sont inversibles avec le cadre plus général des modules.