AlgèbreFormule · Glossaire
Loi de composition externe
Une loi de composition externe sur un ensemble E est une application définie d'un ensemble K (appelé ensemble des scalaires ou des opérateurs) vers l'ensemble des applications de E dans E. Concrètement, elle associe à chaque couple (k, x) avec k dans K et x dans E un élément de E, noté k.x. La multiplication d'un vecteur par un scalaire dans un espace vectoriel est l'exemple fondamental de loi de composition externe. Cette notion est essentielle dans la définition des espaces vectoriels et des modules.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le domaine des opérateurs K, l'ensemble E et la condition de fermeture dans E.
- Calculer la multiplication de (−2) par le vecteur (3, −1) et contrôler le résultat.
- Distinguer une loi externe d'une loi interne et d'une application linéaire.
- Séparer la notion minimale de loi externe des axiomes propres aux espaces vectoriels et aux modules.
- Reconnaître les pièges liés à la fermeture et au côté de l'action.
En clair
Prenons le vecteur (3, −1), représenté par une flèche dans le plan. Le nombre −2 agit sur lui et produit le vecteur (−6, 2) : la flèche change de sens et sa longueur double. Le nombre vient d'un ensemble, ici ℝ, tandis que le vecteur appartient à un autre ensemble, ici ℝ2.
Cette action entre deux sortes d'objets est dite externe. Elle doit cependant renvoyer un objet de la même sorte que celui sur lequel elle agit : un vecteur donne encore un vecteur.
Définition
Soient K et E deux ensembles. Une loi de composition externe sur E, à opérateurs dans K, est une application qui associe à tout couple formé d'un élément k de K et d'un élément x de E un unique élément de E. Elle s'écrit
De façon équivalente, chaque opérateur k détermine une application de E dans E, qui envoie x sur k·x. Cette présentation explique la formulation de la définition de référence : une application de K vers l'ensemble des applications de E dans E se recode en une application de K × E vers E.
La seule notion de loi externe n'impose aucune identité supplémentaire. Pour obtenir un espace vectoriel, K doit notamment être un corps, E doit porter une addition, et l'action doit respecter l'unité, les produits et les deux additions. Pour un module, les scalaires appartiennent à un anneau ; selon la convention, ils agissent à gauche ou à droite.
Le principe
Pour reconnaître une loi de composition externe sur E, on vérifie qu'un ensemble K d'opérateurs est précisé et que chaque couple (k, x) de K × E possède une image unique k·x dans E. Le critère de base est donc . Les axiomes de linéarité ne font pas partie de ce seul critère.
Quand l'utiliser
Il faut identifier le domaine K des opérateurs, l'ensemble E sur lequel ils agissent et une règle définie pour tout couple de K × E. Le résultat doit appartenir à E, et il doit être unique. Ces trois points — domaine complet, stabilité de E et unicité — suffisent pour parler d'une loi externe.
Contre-cas : si K = ℝ, E est l'ensemble des réels strictement positifs et la règle est la multiplication usuelle, le couple (−1, 2) donne −2, qui n'appartient pas à E. Il n'y a donc pas de loi externe de ℝ sur cet ensemble par cette règle. On peut remplacer E par ℝ, ou restreindre convenablement les opérateurs si c'est le cadre recherché.
Un exemple, pas à pas
Dans le plan vectoriel ℝ2, considérons la multiplication par les scalaires réels. Les données sont le scalaire a = −2 et le vecteur v = (3, −1). Nous voulons calculer a·v et contrôler que le résultat reste dans ℝ2.
1. La règle multiplie chaque coordonnée du vecteur par le même scalaire : .
2. En remplaçant a, x et y par leurs valeurs, on obtient .
3. Le couple (−6, 2) possède deux coordonnées réelles : il appartient bien à ℝ2. La figure traduit le même calcul : la multiplication par un nombre négatif inverse le sens, et la valeur absolue 2 double la longueur.
4. Contrôle : en multipliant le résultat par −1/2, on retrouve . Le calcul est donc réversible dans cet exemple.
En pratique
En géométrie vectorielle, on utilise la loi externe pour allonger, raccourcir ou inverser un vecteur. Si une transformation doit combiner deux vecteurs plutôt qu'un nombre et un vecteur, l'addition vectorielle est l'opération adaptée.
Dans un calcul matriciel, multiplier une matrice par un scalaire modifie tous ses coefficients selon le même facteur. Si l'on veut composer deux transformations représentées par des matrices, on choisit plutôt le produit matriciel.
En algèbre, cette notion sert à vérifier la structure annoncée. Une loi externe quelconque de K sur E est une application de K × E dans E ; on ne parle d'espace vectoriel ou de module qu'après avoir contrôlé les axiomes supplémentaires correspondants.
À ne pas confondre
Avec une loi de composition interne. Une loi interne combine deux éléments de E et renvoie un élément de E. L'addition de deux vecteurs est interne ; la multiplication d'un réel par un vecteur est externe, car ses entrées occupent les rôles distincts d'opérateur dans K et d'objet dans E. K et E peuvent néanmoins coïncider comme ensembles.
Avec une application linéaire. Une application linéaire envoie un espace vectoriel vers un autre et respecte les combinaisons linéaires. Pour un scalaire fixé a, l'application v ↦ a·v est linéaire dans un espace vectoriel ; la loi externe complète, elle, prend simultanément a et v comme entrées.
Limites et pièges
Fermeture oubliée. Une formule calculable ne suffit pas : le résultat doit rester dans E pour chaque couple admis. Si un seul couple sort de E, il faut modifier le domaine, le codomaine ou la règle.
Axiomes ajoutés sans preuve. Une loi externe arbitraire ne vérifie pas nécessairement 1·x = x ni (ab)·x = a·(b·x). Ces identités doivent être contrôlées avant de parler d'une action unitaire et associative, puis d'un espace vectoriel ou d'un module.
Côté de l'action. L'écriture k·x décrit une action à gauche, de K × E vers E. Une action à droite s'écrit x·k et part de E × K ; lorsque les opérateurs ne commutent pas, intervertir les deux conventions peut changer les identités à employer.
Pour aller plus loin
L'article espace vectoriel montre comment l'addition des vecteurs et la loi externe par les scalaires s'articulent au moyen d'axiomes précis.
La fiche scalaire précise la nature des opérateurs qui multiplient les vecteurs et le rôle qu'ils jouent dans une structure linéaire.
La loi de composition interne fournit le contraste structurel utile : ses deux entrées et sa sortie appartiennent au même ensemble.
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