k-algèbre

Prenons deux polynômes, p = 1 + 2X et q = 3 − X. On peut les additionner, les multiplier entre eux ou multiplier chacun par un nombre du corps K. Ces trois gestes restent coordonnés : doubler p avant de le multiplier par q revient à doubler leur produit.

Une K-algèbre rassemble précisément ces possibilités dans un même objet. Elle se comporte à la fois comme un espace vectoriel, grâce aux scalaires de K, et comme un anneau, grâce au produit interne. La règle de compatibilité empêche ces deux structures de fonctionner indépendamment.

Soit K un corps commutatif et soit E un ensemble. Dans la convention de la définition de référence, E est une K-algèbre lorsqu'il porte une addition, un produit interne associatif et une multiplication par les scalaires de K. L'addition et l'action des scalaires font de E un K-espace vectoriel. L'addition et le produit interne font de E un anneau associatif.

La condition décisive relie les deux structures. Si le symbole λ désigne un scalaire de K et si y et z désignent deux éléments de E, alors : $\lambda (yz)=(\lambda y)z=y(\lambda z)\backslash lambda(yz)=(\backslash lambda\; y)z=y(\backslash lambda\; z)$. Autrement dit, le scalaire peut être appliqué au produit entier ou à l'un de ses facteurs sans changer le résultat. Cette centralité utilise le caractère commutatif de K. Selon les conventions, on exige en plus que l'anneau possède une unité et que l'unité de K agisse comme celle de E.

La K-algèbre est dite commutative lorsque son produit interne commute. L'anneau K[X] des polynômes et le corps K(X) des fractions rationnelles sont commutatifs. L'anneau M_n(K) des matrices fournit en général un exemple non commutatif dès que n ≥ 2. Les algèbres de Clifford appartiennent aussi à ce cadre associatif. L'expression « algèbre de Lie » emploie un cadre différent : son crochet n'est généralement pas un produit associatif.

Dans la K-algèbre K[X], prenons les données p = 1 + 2X, q = 3 − X et le scalaire λ = 2. Vérifions que le scalaire peut se placer avant ou après le produit.

1. Multiplions d'abord les deux polynômes : $pq=(1+2X)(3-X)=3+5X-2X^{2}pq=(1+2X)(3-X)=3+5X-2X^2$.

2. Multiplions ce résultat par le scalaire 2 : $2(pq)=6+10X-4X^{2}2(pq)=6+10X-4X^2$.

3. Recommençons en doublant seulement le premier facteur : $(2p)q=(2+4X)(3-X)=6+10X-4X^2(2p)q=(2+4X)(3-X)=6+10X-4X^2$. Le schéma rassemble ce calcul et la voie symétrique obtenue en doublant q.

4. Le troisième chemin donne aussi $p(2q)=(1+2X)(6-2X)=6+10X-4X^{2}p(2q)=(1+2X)(6-2X)=6+10X-4X^2$. Les trois résultats sont le même polynôme. Un contrôle coefficient par coefficient donne 6 pour le terme constant, 10 pour le coefficient de X et −4 pour celui de X².

Pour calculer avec des polynômes tout en conservant addition, produit et multiplication scalaire, on travaille dans K[X]. Si la division par tout polynôme non nul devient nécessaire, K(X) est l'alternative adaptée ; le critère est l'apparition d'un dénominateur polynomial.

Pour composer des transformations linéaires représentées par des matrices, M_n(K) fournit le produit interne. Un simple espace vectoriel suffit si l'on ne compose pas ses éléments ; le besoin d'un produit entre eux fait préférer la structure de K-algèbre.

Pour tester un objet candidat, on vérifie séparément l'espace vectoriel, l'anneau associatif et la compatibilité des scalaires avec le produit. Une seule égalité qui échoue suffit à écarter la structure de K-algèbre au sens retenu ici.

K-espace vectoriel et K-algèbre. Un K-espace vectoriel permet d'additionner ses éléments et de les multiplier par des scalaires, mais il ne fournit pas nécessairement de produit entre deux éléments. Dans K[X], le produit pq montre la donnée supplémentaire.

Anneau et K-algèbre. Un anneau possède une addition et un produit internes, sans qu'une action d'un corps K soit spécifiée. Pour devenir une K-algèbre, il faut cette action scalaire et sa compatibilité centrale avec le produit.

K-algèbre commutative et K-algèbre associative. L'associativité compare (xy)z à x(yz), tandis que la commutativité compare xy à yx. Les matrices de taille n ≥ 2 sont associatives mais généralement non commutatives.

Convention sur l'unité. Certains auteurs incluent une unité dans le mot « anneau » et exigent que la K-algèbre partage cette unité avec K ; d'autres autorisent les algèbres non unitaires. Avant d'utiliser un théorème, il faut donc vérifier la convention annoncée.

Le mot « algèbre » change de cadre. Une algèbre de Lie possède un crochet bilinéaire qui est antisymétrique et satisfait l'identité de Jacobi, mais ce crochet n'est généralement pas associatif. Il ne faut donc pas lui appliquer automatiquement la définition associative donnée ici.

Les matrices ne commutent pas en général. Pour n ≥ 2, deux matrices peuvent vérifier AB ≠ BA. L'ordre des facteurs doit être conservé ; seule la taille n = 1 ramène M₁(K) au comportement commutatif de K.

Polynôme et fraction rationnelle. K[X] contient les polynômes, tandis que K(X) autorise les quotients dont le dénominateur est un polynôme non nul. Une écriture comportant une division ne doit être simplifiée dans K[X] que si le quotient obtenu est encore un polynôme.

algèbre — Replacer la K-algèbre parmi les sens et les structures couverts par le mot algèbre.

espace vectoriel — Approfondir l'une des deux structures qui composent une K-algèbre.

corps commutatif — Préciser le rôle du corps K dont proviennent les scalaires.

algèbre de Lie — Examiner un autre sens du mot algèbre, fondé sur un crochet plutôt que sur un produit associatif.

algèbre de Clifford — Découvrir une famille citée par la définition de référence dans le cadre des K-algèbres.