algèbre

Trois sachets identiques et cinq jetons isolés représentent vingt jetons au total. Sans ouvrir les sachets, on peut trouver leur contenu : retirer les cinq jetons, puis partager les quinze restants en trois parts. Chaque sachet contient cinq jetons.

L'algèbre remplace le contenu inconnu par une lettre et conserve les relations pendant le calcul. Elle ne sert pas seulement à trouver un nombre caché : elle exprime aussi des règles générales et étudie les structures créées par leurs opérations.

Le mot algèbre vient de l'arabe al-jabr, « restauration ». Le terme jabr désignait aussi la réduction chirurgicale d'une fracture. Al-Khwarizmi l'a fait entrer au 9^e siècle dans la tradition mathématique transmise au latin médiéval sous la forme algebra. Au 16^e siècle, Viète a généralisé l'emploi de lettres pour représenter des quantités.

Dans son sens classique, l'algèbre étudie des nombres, des expressions et des équations au moyen d'opérations. Une lettre peut représenter une inconnue à déterminer, comme x dans 3x + 5 = 20, mais aussi une variable ou un paramètre. Depuis le 19^e siècle, l'algèbre moderne étudie plus largement des ensembles munis de lois. Une loi interne combine deux éléments de l'ensemble et produit encore un élément de cet ensemble. Une loi externe fait aussi intervenir un élément provenant d'un autre ensemble.

Au sens précis de structure d'algèbre, on fixe un corps de scalaires noté K. L'ensemble A est à la fois un espace vectoriel sur K et un anneau, avec une multiplication compatible avec les scalaires. Pour un scalaire λ de K et deux éléments a et b de A, cette compatibilité s'exprime notamment par $\lambda (ab)=(\lambda a)b=a(\lambda b)\backslash lambda(ab)=(\backslash lambda\; a)b=a(\backslash lambda\; b)$. Dans le cadre usuel, la multiplication de l'anneau est associative. L'existence d'une unité dépend de la convention adoptée ; dans des cadres plus larges, le mot « algèbre » peut aussi couvrir une multiplication non associative. Ces choix doivent donc être annoncés.

Trois sachets identiques et cinq jetons isolés totalisent vingt jetons. On note x le nombre de jetons dans un sachet. La situation se traduit par l'équation 3x + 5 = 20. Le schéma résume les transformations qui conservent exactement la même solution.

Données.
Nombre de sachets : 3.
Jetons isolés : 5.
Total : 20 jetons.
Domaine choisi : x est un nombre réel.
Règle : on effectue la même opération sur les deux membres de l'égalité.

Étape 1. On soustrait 5 aux deux membres. L'égalité devient 3x = 15.

Étape 2. On divise les deux membres par 3, qui est non nul. On obtient x = 5. Chaque sachet contient donc cinq jetons.

Contrôle. On remplace x par 5 dans l'équation initiale : 3 × 5 + 5 = 15 + 5 = 20. Le membre de gauche retrouve le total annoncé, donc 5 est bien la solution.

Dans un problème où une quantité manque, l'algèbre traduit les relations par une équation. Pour les trois sachets, la lettre x évite les essais successifs ; si les possibilités sont très peu nombreuses, un inventaire direct peut toutefois suffire.

Pour établir une règle valable pour toutes les valeurs admises, on manipule une expression symbolique. Une vérification numérique teste quelques cas, tandis qu'une transformation algébrique justifiée conserve la relation pour tout le domaine annoncé.

Pour étudier des objets comme des polynômes ou des matrices, l'algèbre moderne examine les opérations disponibles et les propriétés qu'elles respectent. Si seule l'addition compte, un espace vectoriel peut suffire ; si une multiplication compatible intervient aussi, une structure d'algèbre devient pertinente.

Algèbre et arithmétique. L'arithmétique calcule avec des nombres donnés ; l'algèbre exprime des relations avec des symboles. Calculer 3 × 5 + 5 relève de l'arithmétique, tandis que résoudre 3x + 5 = 20 relève de l'algèbre.

L'algèbre et une algèbre. Le premier terme désigne un domaine des mathématiques. Une algèbre, au sens structurel, désigne un ensemble précis doté d'une addition, d'une multiplication et d'une action des scalaires compatibles.

Algèbre et algèbre linéaire. L'algèbre linéaire se concentre sur les espaces vectoriels, les applications linéaires et leurs représentations. L'algèbre est plus vaste : elle comprend aussi des équations non linéaires et d'autres structures munies d'opérations.

Une lettre n'est pas toujours une inconnue. Elle peut représenter une variable libre, un paramètre fixé ou une indéterminée formelle. Le symptôme du piège est une demande de « résoudre » alors qu'aucune égalité ni condition n'est donnée ; il faut d'abord préciser le rôle du symbole.

Toute transformation n'est pas réversible sans condition. Dans l'exemple, diviser par 3 est sûr parce que 3 est non nul. Diviser une équation par une expression qui pourrait valoir zéro peut supprimer des solutions ; il faut séparer ce cas avant la division.

Une égalité finale doit être contrôlée dans l'égalité initiale. Certaines opérations, comme élever les deux membres au carré, peuvent introduire des solutions étrangères. La substitution de x = 5 dans 3x + 5 = 20 confirme ici le résultat sans ambiguïté.

Les conventions sur les structures doivent être précisées. Dans la définition par un anneau, la multiplication est usuellement associative, mais l'unité n'est pas exigée par tous les auteurs. Des cadres plus larges admettent aussi des algèbres non associatives. Il faut annoncer le corps de scalaires et les axiomes retenus.

Al-Khwarizmi replace l'origine du mot et la pratique des équations dans leur contexte historique.

La géométrie des équations chez al-Khwārizmī montre comment des constructions géométriques soutenaient la résolution algébrique.

Algèbre linéaire approfondit le cadre des vecteurs, des combinaisons linéaires et des applications qui les préservent.

Espace vectoriel précise l'une des deux structures réunies dans la définition d'une algèbre sur un corps.

La nouvelle algèbre de Monsieur Viète prolonge l'étape historique où les lettres deviennent un langage général des quantités.