AlgèbreNotion · Glossaire
scalaire
Dans le cadre d'un espace vectoriel défini sur un corps K, un scalaire est un élément du corps K, par opposition aux vecteurs qui constituent les éléments de l'espace vectoriel lui-même. La distinction entre scalaires et vecteurs est fondamentale en algèbre linéaire : elle se retrouve notamment dans les notions de produit scalaire — opération à valeur dans K — et de produit vectoriel — opération dont le résultat est un vecteur. Les scalaires interviennent en particulier dans la multiplication d'un vecteur par un scalaire, opération fondamentale définissant la structure d'espace vectoriel.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier l'ensemble auquel appartient un scalaire dans un espace vectoriel.
- Calculer la multiplication du vecteur (2, −1) par le scalaire 3.
- Distinguer scalaire, vecteur, multiplication scalaire, produit scalaire et produit vectoriel.
- Repérer les précautions liées au corps de scalaires et aux structures supplémentaires.
En clair
Prenons une flèche qui avance de 2 carreaux et descend de 1 carreau. Le nombre 3 peut tripler chacun de ces déplacements : la nouvelle flèche avance de 6 carreaux et descend de 3 carreaux. Ici, 3 est le scalaire et les deux flèches sont des vecteurs. Le scalaire règle donc l'amplitude du vecteur sans devenir lui-même une flèche.
Définition
Soit E un espace vectoriel construit sur un corps K. Les éléments de K sont les scalaires, tandis que les éléments de E sont les vecteurs. Un corps est un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication, où la soustraction et la division par un élément non nul sont possibles. Selon l'espace étudié, K peut notamment être le corps ℝ des nombres réels ou le corps ℂ des nombres complexes.
La multiplication par un scalaire associe à un scalaire λ de K et à un vecteur v de E un nouveau vecteur λv de E : . Cette opération doit respecter les règles de l'espace vectoriel, dont λ(v + w) = λv + λw et (λμ)v = λ(μv). Elle permet en particulier de former des combinaisons linéaires.
Le rôle de scalaire dépend donc du corps choisi. Dans un espace vectoriel réel, les scalaires sont réels. Dans un espace vectoriel complexe, ils sont complexes. Un produit scalaire, lorsqu'une telle structure supplémentaire est définie, prend des vecteurs en entrée et renvoie une valeur dans K.
Un exemple, pas à pas
Dans l'espace vectoriel ℝ2, on veut multiplier un vecteur par un scalaire. Les données sont :
• le vecteur v = (2, −1) ;
• le scalaire λ = 3 ;
• les coordonnées sont exprimées dans la même base.
• le vecteur v = (2, −1) ;
• le scalaire λ = 3 ;
• les coordonnées sont exprimées dans la même base.
1. On applique le scalaire à chaque coordonnée du vecteur.
2. La première coordonnée devient 3 × 2 = 6, et la seconde devient 3 × (−1) = −3.
3. Le calcul complet s'écrit . Le résultat est le vecteur 3v = (6, −3). La représentation associe les deux vecteurs à la même origine et rend visible leur direction commune.
Le contrôle se refait coordonnée par coordonnée : 6 ÷ 3 = 2 et −3 ÷ 3 = −1. On retrouve bien v. De plus, 3 étant positif, 3v garde le sens de v et sa longueur est triplée.
En pratique
Pour agrandir ou réduire un déplacement représenté par un vecteur, on multiplie ce vecteur par un scalaire. Dans l'exemple v = (2, −1), le choix λ = 3 produit (6, −3). Si l'on veut seulement conserver la direction avec une longueur égale à 1, on normalise plutôt le vecteur non nul.
Pour combiner plusieurs directions, on choisit un scalaire devant chaque vecteur, puis on additionne les vecteurs obtenus. Cette combinaison linéaire convient lorsque plusieurs contributions s'ajoutent ; une simple multiplication scalaire suffit lorsqu'une seule contribution change d'amplitude.
Pour vérifier la nature d'un résultat, on regarde son ensemble d'arrivée. Une multiplication scalaire renvoie un vecteur comme (6, −3). Un produit scalaire, dans un espace qui en possède un, renvoie au contraire un scalaire.
À ne pas confondre
Scalaire et vecteur. Un scalaire appartient au corps K ; un vecteur appartient à l'espace E. Dans ℝ2, 3 est un scalaire, tandis que (2, −1) est un vecteur. Le test consiste à identifier l'ensemble auquel appartient l'objet.
Scalaire et produit scalaire. Le scalaire est une valeur ; le produit scalaire est une opération définie sur deux vecteurs. Si le produit scalaire de deux vecteurs vaut −2, le nombre −2 est le scalaire obtenu, pas l'opération elle-même.
Multiplication par un scalaire et produit scalaire. La première reçoit un scalaire et un vecteur, puis renvoie un vecteur. Le second reçoit deux vecteurs et renvoie un scalaire. Ainsi, 3(2, −1) = (6, −3) relève de la multiplication scalaire.
Produit scalaire et produit vectoriel. Dans l'espace euclidien usuel ℝ3, le premier renvoie un réel et le second un vecteur. Ce critère porte sur le type du résultat ; le produit vectoriel usuel n'est pas une opération disponible dans tout espace vectoriel.
Limites et pièges
Le corps doit être précisé. Écrire seulement « les scalaires sont des nombres » masque une donnée essentielle. Dans un espace réel, ils appartiennent à ℝ ; dans un espace complexe, ils appartiennent à ℂ. Il faut donc identifier K avant de décider quelles valeurs sont admises.
Le zéro a deux rôles possibles. Le scalaire nul 0 appartient à K, alors que le vecteur nul appartient à E. La notation peut être identique, mais le contexte tranche : 0v désigne une multiplication scalaire et donne le vecteur nul.
Un produit scalaire n'est pas automatique. La structure d'espace vectoriel fournit l'addition des vecteurs et leur multiplication par les scalaires. Elle ne choisit pas à elle seule un produit scalaire. Pour calculer une longueur ou un angle de cette manière, il faut qu'un produit scalaire soit défini en plus.
Le produit vectoriel usuel a un cadre limité. La règle familière qui associe un vecteur à deux vecteurs concerne notamment ℝ3 muni de sa structure euclidienne orientée. Dans un espace vectoriel arbitraire, il faut vérifier qu'une telle opération est effectivement définie au lieu de la supposer.
Pour aller plus loin
espace vectoriel — Situer les scalaires parmi les données qui définissent la structure et les opérations permises sur les vecteurs.
Combinaison linéaire — Voir comment plusieurs scalaires pondèrent plusieurs vecteurs pour en construire un nouveau.
produit scalaire — Étudier l'opération qui reçoit deux vecteurs et produit une valeur dans le corps de scalaires.
produit vectoriel — Distinguer cette opération à résultat vectoriel dans son cadre usuel de la multiplication par un scalaire.
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