Transfini

Écrivons les nombres naturels 0, 1, 2, 3, …, puis les nombres pairs 0, 2, 4, 6, … Chaque naturel peut être associé à un pair en le multipliant par 2, et chaque pair retrouve un unique naturel lorsqu'on le divise par 2. Aucune place ne reste libre dans cette correspondance.

Les deux ensembles ont donc la même taille infinie, même si les pairs ne forment qu'une partie des naturels. Cette taille est le plus petit cardinal transfini, noté ℵ₀. Les nombres transfinis donnent ainsi des moyens précis de comparer des tailles infinies ou de décrire des ordres infinis.

Un nombre transfini appartient au langage de la théorie des ensembles et décrit une grandeur infinie. Un cardinal transfini mesure la taille d'un ensemble infini. Deux ensembles ont le même cardinal lorsqu'il existe entre eux une bijection, c'est-à-dire une correspondance qui associe chaque élément de l'un à un unique élément de l'autre, sans oubli ni répétition.

L'ensemble des nombres naturels, noté ℕ, est dénombrable. Son cardinal est aleph-zéro, noté ℵ₀ : $\mathrm{\mid }\mathbb{N}\mathrm{\mid }={\mathrm{\aleph }}_0|\backslash mathbb\{N\}|=\backslash aleph\_0$. C'est le plus petit cardinal infini. L'ensemble des nombres pairs a lui aussi ce cardinal, car la fonction qui associe au naturel n le pair 2n est une bijection : $f:\mathbb{N}\to 2\mathbb{N},f(n)=2nf:\backslash mathbb\{N\}\backslash to\; 2\backslash mathbb\{N\},\backslash quad\; f(n)=2n$.

Un ordinal transfini répond à une autre question : il décrit la position et le type d'ordre d'un ensemble bien ordonné, où toute partie non vide possède un premier élément. Le premier ordinal infini est ω, qui prolonge l'ordre 0, 1, 2, 3, … Cardinal et ordinal coïncident souvent dans le langage fini, mais leur rôle se sépare dans le transfini : l'un mesure combien d'éléments il y a, l'autre comment ils sont ordonnés.

Comparons l'ensemble ℕ des nombres naturels et l'ensemble E des nombres naturels pairs. Nous cherchons une correspondance complète, pas seulement quelques couples qui semblent suivre le même motif.

Données :
ensemble de départ : ℕ = {0, 1, 2, 3, …} ;
ensemble d'arrivée : E = {0, 2, 4, 6, …} ;
règle d'association : au naturel n correspond le pair 2n.

1. Appliquer la règle aux premiers naturels : 0 devient 0, 1 devient 2, 2 devient 4, 3 devient 6.
2. Deux naturels distincts ne donnent jamais le même pair, car doubler conserve leur différence.
3. Tout pair e possède un antécédent naturel unique, obtenu par e ÷ 2.
4. La règle est donc une bijection de ℕ vers E.

Le résultat est $\mathrm{\mid }E\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\mathbb{N}\mathrm{\mid }={\mathrm{\aleph }}_0|E|=|\backslash mathbb\{N\}|=\backslash aleph\_0$. Pour contrôler la correspondance, choisissez n'importe quel pair, par exemple 18 : son unique antécédent est 18 ÷ 2 = 9, et la règle renvoie bien 2 × 9 = 18.

Pour comparer deux ensembles infinis, compter leurs éléments un à un ne convient pas. On cherche plutôt une bijection explicite. Avec les naturels et les pairs, la règle n ↦ 2n fournit ce contrôle ; une simple inclusion ne suffirait pas.

Pour décider si un ensemble infini est dénombrable, on tente d'en numéroter tous les éléments par les naturels. Si cette numérotation est bijective, son cardinal est ℵ₀. Si aucune telle bijection n'existe, son cardinal n'est pas ℵ₀.

Pour étudier un ordre infini, la taille seule perd de l'information. On emploie alors un ordinal, qui conserve la manière dont les éléments se succèdent. Le bon réflexe est donc de demander si le problème porte sur une quantité ou sur un ordre.

Un cardinal transfini mesure une taille, tandis qu'un ordinal transfini décrit un ordre. Réordonner une même collection ne change pas son cardinal, mais peut changer son ordinal : la question posée permet de choisir la bonne notion.

Le symbole ∞ exprime couramment une absence de borne ou un comportement illimité. Un nombre transfini est, lui, un objet de théorie des ensembles que l'on compare au moyen de cardinaux ou d'ordinaux. Écrire qu'une suite tend vers ∞ ne lui attribue donc pas le cardinal ℵ₀.

Un ensemble dénombrable peut être mis en bijection avec les naturels. Le mot « infini » est plus large : tous les ensembles infinis ne sont pas dénombrables. Une numérotation complète tranche entre ces deux qualifications.

Une partie peut avoir la taille du tout. Les pairs sont strictement inclus dans les naturels, mais la bijection n ↦ 2n montre que les deux ensembles ont le cardinal ℵ₀. Pour des ensembles infinis, une inclusion stricte ne prouve donc pas une cardinalité strictement plus petite.

« Au-delà de tous les naturels » ne signifie pas « réel plus grand que tous les naturels ». Aucun nombre réel ne joue ce rôle. Le transfini change de cadre : il décrit des tailles ou des types d'ordre en théorie des ensembles.

Montrer beaucoup de couples ne prouve pas une bijection. Le dessin 0 ↦ 0, 1 ↦ 2, 2 ↦ 4 suggère la règle, mais la preuve doit aussi garantir qu'aucun pair n'est oublié et qu'aucun n'est atteint deux fois. L'inverse e ↦ e ÷ 2 apporte ce contrôle pour tout pair e.

Il n'existe pas une seule taille infinie. Les naturels ont le cardinal ℵ₀, alors que l'ensemble des réels n'est pas dénombrable. Pour comparer ces tailles, il faut établir une bijection ou démontrer qu'une telle correspondance est impossible.

Le glossaire Dénombrable développe le critère qui relie un ensemble infini aux nombres naturels.

Le glossaire infini replace les nombres transfinis parmi les différentes façons dont les mathématiques traitent l'absence de fin.

L'article Georg Cantor : passer du fini à l'infini prolonge l'origine et la portée de la comparaison des infinis.