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cardinal d'un ensemble
Le cardinal d'un ensemble fini est le nombre d'éléments qu'il contient. Cette notion se généralise aux ensembles infinis : deux ensembles, finis ou non, sont dits équipotents (de même cardinal) s'il existe une bijection entre eux. Ainsi, l'ensemble des entiers naturels et l'ensemble des entiers pairs ont le même cardinal, bien que le second soit un sous-ensemble strict du premier. La théorie des cardinaux, développée par Cantor, distingue notamment les infinis dénombrables et les infinis non dénombrables.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Calculer le cardinal d’un ensemble fini en comptant ses éléments distincts.
- Reconnaître une bijection comme preuve d’égalité de deux cardinaux.
- Vérifier pas à pas l’équipotence des entiers naturels et des entiers pairs.
- Éviter les pièges liés aux doublons, à l’inclusion stricte et aux correspondances incomplètes.
En clair
Posez quatre cartes numérotées 0, 1, 2 et 3 sur une table. Leur ensemble a pour cardinal 4 : le cardinal répond simplement à la question « combien y a-t-il d’éléments distincts ? ».
Quand une collection est infinie, on ne peut pas finir de la compter. On compare alors deux ensembles en associant chaque élément de l’un à un unique élément de l’autre, sans oubli. Les entiers 0, 1, 2, 3… s’apparient ainsi avec les entiers pairs 0, 2, 4, 6… : ces deux ensembles ont le même cardinal.
Définition
Le cardinal d’un ensemble mesure son nombre d’éléments. Pour un ensemble fini nommé A, on note ce nombre |A|. Si A contient les quatre nombres 0, 1, 2 et 3, alors . L’ordre dans lequel les éléments sont écrits ne change pas ce nombre.
La définition s’étend aux ensembles infinis par la bijection. Deux ensembles A et B ont le même cardinal lorsqu’il existe une correspondance qui associe à chaque élément de A exactement un élément de B, et dans laquelle chaque élément de B est atteint exactement une fois. On dit alors que A et B sont équipotents.
Notons N l’ensemble des entiers naturels et E l’ensemble des entiers pairs. À chaque entier naturel n, la règle associe l’entier pair 2n. Réciproquement, chaque entier pair provient d’un seul entier naturel. Cette bijection établit , alors même que E est un sous-ensemble strict de N. Cette propriété propre aux ensembles infinis conduit à distinguer l’infini dénombrable d’infinis non dénombrables.
De quoi c'est fait
La notion repose sur quatre composantes. L’ensemble fixe la collection étudiée. Ses éléments sont les objets distincts qui lui appartiennent. Le cardinal est la taille attribuée à cette collection. Enfin, une bijection sert de critère pour décider que deux ensembles possèdent la même taille, y compris lorsqu’ils sont infinis.
Le cardinal dépend des éléments retenus, mais ni de leur ordre d’écriture ni de leur apparence. Pour un ensemble fini, l’énumération des éléments suffit à calculer sa taille. Pour deux ensembles quelconques, la bijection doit à la fois ne répéter aucune cible et n’en oublier aucune. Ces deux exigences suffisent à conclure à l’égalité des cardinaux.
Un exemple, pas à pas
On compare l’ensemble N des entiers naturels 0, 1, 2, 3… et l’ensemble E des entiers pairs 0, 2, 4, 6…. L’ensemble E est inclus dans N, mais on veut savoir si leurs cardinaux diffèrent.
Étape 1. Prenez un entier naturel nommé n et associez-lui le nombre 2n. Les premiers couples sont 0 avec 0, 1 avec 2, 2 avec 4, 3 avec 6 et 4 avec 8.
Étape 2. Deux entiers naturels différents donnent deux entiers pairs différents. Aucun élément de E n’est donc associé deux fois.
Étape 3. Tout entier pair s’écrit 2n pour un entier naturel n. Aucun élément de E n’est oublié.
Étape 4. La correspondance est donc une bijection de N vers E. Le résultat est .
Le schéma matérialise ce contrôle sur les premiers couples. La règle se poursuit sans changer : chaque entier naturel possède une cible paire, et chaque entier pair possède un unique antécédent.
En pratique
Pour inventorier une collection finie, le cardinal donne le nombre d’objets distincts retenus. Une simple énumération convient lorsque tous les éléments sont accessibles ; si certains apparaissent plusieurs fois dans une liste, il faut d’abord repérer les doublons.
Pour comparer deux collections, une mise en paires peut remplacer deux comptages séparés. Si chaque objet de la première collection reçoit un partenaire unique et qu’aucun objet de la seconde ne reste seul, les deux cardinaux sont égaux.
Pour des ensembles infinis, le comptage élément par élément ne se termine jamais. Une bijection devient alors le bon critère. L’appariement de n avec 2n montre ainsi que les entiers naturels et les entiers pairs ont la même taille, malgré l’inclusion stricte des seconds dans les premiers.
À ne pas confondre
Cardinal et élément. Un élément appartient à l’ensemble ; le cardinal compte tous ses éléments distincts. Dans l’ensemble formé par 0, 1, 2 et 3, le nombre 3 est un élément, tandis que le cardinal vaut 4.
Cardinal et plus grand élément. Le cardinal mesure une quantité, pas la valeur maximale contenue dans l’ensemble. L’ensemble formé par 0, 2, 4 et 6 a pour plus grand élément 6, mais pour cardinal 4.
Égalité des cardinaux et égalité des ensembles. Deux ensembles équipotents peuvent contenir des éléments différents. Les ensembles formés par 0, 1, 2 et 3, d’une part, et par 0, 2, 4 et 6, d’autre part, ont chacun quatre éléments sans être égaux.
Limites et pièges
Ensemble vide. Un ensemble sans aucun élément a pour cardinal 0. Il ne faut pas lui attribuer le cardinal 1 sous prétexte que son écriture constitue un symbole.
Répétitions dans une écriture. Répéter une valeur ne crée pas un nouvel élément. L’ensemble écrit avec 1, 1 et 2 contient seulement les éléments 1 et 2 : son cardinal vaut 2, pas 3.
Inclusion stricte. Pour des ensembles finis, retirer au moins un élément diminue le cardinal. Ce réflexe devient trompeur à l’infini : les entiers pairs forment un sous-ensemble strict des entiers naturels, mais la bijection n ↦ 2n prouve l’égalité de leurs cardinaux.
Correspondance incomplète. Une règle d’association ne suffit pas si elle oublie une cible ou en atteint une plusieurs fois. Il faut vérifier séparément que chaque élément d’arrivée est atteint et qu’il ne l’est que par un seul élément de départ.
Pour aller plus loin
Bijection — Approfondir le critère qui établit l’égalité de cardinal entre deux ensembles.
Dénombrable — Situer les ensembles dont les éléments peuvent être appariés aux entiers naturels.
Infini — Replacer la comparaison des tailles infinies dans une notion plus générale.
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