AlgèbreNotion · Glossaire
Équipotent
Deux ensembles sont dits équipotents s'il existe une bijection entre eux, c'est-à-dire une correspondance un-à-un entre leurs éléments. L'équipotence est une relation d'équivalence entre ensembles et la notion d'équipotence est la base de la définition du cardinal d'un ensemble. Cantor a montré que l'ensemble des réels n'est pas équipotent à l'ensemble des entiers naturels, établissant l'existence de niveaux d'infini distincts.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître qu'une bijection établit l'équipotence.
- Vérifier un appariement fini élément par élément.
- Comprendre pourquoi une partie propre peut être équipotente à un ensemble infini.
- Distinguer le cardinal des entiers naturels de celui des nombres réels.
En clair
Imaginez trois formes, un triangle, un cercle et un carré, face aux nombres 1, 2 et 3. Si chaque forme reçoit un nombre différent et que chaque nombre est utilisé, aucun élément ne reste seul. Les deux ensembles peuvent alors être appariés parfaitement : ils sont équipotents.
Cette idée compare la quantité d'éléments sans dépendre de leur nature ni de leur ordre. Elle fonctionne aussi avec des ensembles infinis, où le comptage ordinaire ne suffit plus.
Définition
Deux ensembles, appelés A et B, sont équipotents lorsqu'il existe une fonction de A vers B qui est bijective. Cela signifie que chaque élément de A possède exactement une image dans B, que deux éléments distincts de A n'ont jamais la même image et que tout élément de B est atteint. On note cette équipotence .
L'équipotence est une relation d'équivalence : tout ensemble est équipotent à lui-même, la relation peut être inversée, et deux appariements successifs peuvent être composés. Elle répartit ainsi les ensembles en classes ayant le même cardinal. Pour des ensembles finis, être équipotents revient à avoir le même nombre d'éléments.
Pour des ensembles infinis, une partie propre peut avoir le même cardinal que l'ensemble entier. Les entiers naturels sont par exemple équipotents aux entiers naturels pairs. En revanche, le résultat de Cantor cité dans la définition de référence affirme qu'aucune bijection ne relie les entiers naturels à tous les nombres réels.
Un exemple, pas à pas
On considère l'ensemble A formé d'un triangle, d'un cercle et d'un carré, puis l'ensemble B formé des nombres 1, 2 et 3. La fonction appelée f associe le triangle à 1, le cercle à 2 et le carré à 3. Le schéma matérialise cet appariement.
1. Chaque forme possède une seule image.
2. Les trois images obtenues, 1, 2 et 3, sont différentes : la fonction est injective.
3. Chaque nombre de B est l'image d'une forme : la fonction est surjective.
4. Comme f est à la fois injective et surjective, elle est bijective.
2. Les trois images obtenues, 1, 2 et 3, sont différentes : la fonction est injective.
3. Chaque nombre de B est l'image d'une forme : la fonction est surjective.
4. Comme f est à la fois injective et surjective, elle est bijective.
Il existe donc une bijection de A vers B, et A est équipotent à B. Le contrôle consiste à suivre les trois traits : chaque élément, à gauche comme à droite, doit être incident à exactement un trait.
En pratique
Pour comparer deux collections finies, on peut apparier leurs objets un à un. Si rien ne reste d'aucun côté, l'appariement établit l'équipotence ; sinon, un comptage direct donne plus simplement leurs cardinaux différents.
Pour comparer des ensembles infinis, on cherche une règle de correspondance valable pour tous les éléments. Entre les entiers naturels et les entiers naturels pairs, associer chaque entier à son double fournit la bijection recherchée.
Quand aucune bijection explicite n'apparaît, on peut tenter de prouver qu'elle est impossible. Le résultat de Cantor sépare ainsi le cardinal des nombres réels de celui des entiers naturels.
À ne pas confondre
Équipotence et égalité d'ensembles. Deux ensembles égaux ont exactement les mêmes éléments. Deux ensembles équipotents peuvent contenir des objets différents : l'ensemble des trois formes et l'ensemble {1, 2, 3} ne sont pas égaux, mais une bijection les relie.
Bijection et injection. Une injection interdit que deux éléments de départ aient la même image, mais elle peut laisser des éléments d'arrivée inutilisés. Une bijection exige aussi que tout élément d'arrivée soit atteint.
Limites et pièges
Une correspondance partielle ne suffit pas. Si une forme n'a pas d'image, si deux formes aboutissent au même nombre ou si un nombre n'est jamais atteint, la correspondance présentée n'est pas une bijection. Il faut la corriger ou en chercher une autre avant de conclure.
Un sous-ensemble n'est pas toujours plus petit en cardinal. Pour un ensemble fini, retirer un élément diminue le cardinal. Pour un ensemble infini, les entiers naturels pairs forment une partie propre des entiers naturels tout en leur étant équipotents par la règle qui associe chaque entier à son double.
L'infini n'a pas un cardinal unique. Le fait que les entiers naturels soient équipotents à une partie propre ne rend pas tous les ensembles infinis équipotents. Cantor a montré que les nombres réels ne peuvent pas être mis en bijection avec les entiers naturels.
L'ensemble vide constitue le cas minimal. Il est équipotent à lui-même grâce à l'unique fonction vide. Il n'est équipotent à aucun ensemble possédant au moins un élément, car cet élément d'arrivée ne pourrait pas être atteint.
Pour aller plus loin
La fiche bijection détaille la correspondance un-à-un qui sert à démontrer l'équipotence de deux ensembles.
La fiche Dénombrable précise quels ensembles infinis peuvent être mis en bijection avec les entiers naturels.
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