paradoxes de l'infini

Imaginez deux segments gradués, l'un de 0 à 1 et l'autre de 0 à 2. Le second est deux fois plus long. Pourtant, à chaque point du premier, on peut associer un unique point du second en doublant sa position.

Aucun point n'est oublié et aucun n'est utilisé deux fois. Les deux segments ont donc autant de points au sens de la bijection, malgré leurs longueurs différentes. Ce contraste, surprenant si l'on raisonne comme avec des collections finies, est au cœur des paradoxes de l'infini.

L'expression Les Paradoxes de l'infini nomme d'abord l'ouvrage posthume de Bernard Bolzano, publié en 1851. Elle renvoie aussi aux phénomènes que cet ouvrage étudie : un ensemble infini peut être mis en correspondance biunivoque avec un sous-ensemble strict, c'est-à-dire une partie qui ne contient pas tous ses éléments. Une correspondance est biunivoque lorsque chaque élément de départ reçoit exactement une image et que chaque élément d'arrivée est atteint exactement une fois.

Le paradoxe de Galilée présenté par Bolzano compare les intervalles [0, 1] et [0, 2]. Pour un nombre réel x appartenant au premier intervalle, on définit son image par la fonction $f(x)=2xf(x)=2x$. Cette règle est une bijection : deux nombres de départ distincts ne donnent pas la même image, et tout nombre y de [0, 2] provient du nombre x = y/2 de [0, 1]. Ainsi, l'égalité du nombre de points, appelée égalité de cardinalité, ne signifie pas que les longueurs sont égales. Depuis les travaux de Georg Cantor, cette différence n'est plus tenue pour une contradiction, mais pour un trait propre aux ensembles infinis.

On veut apparier les points de [0, 1] avec ceux de [0, 2]. Données : l'intervalle de départ est [0, 1] ; l'intervalle d'arrivée est [0, 2] ; la règle choisie est $f(x)=2xf(x)=2x$. La figure matérialise cinq couples, mais la règle vaut pour chaque point des deux intervalles.

1. Prenez successivement les positions 0, 1/4, 1/2, 3/4 et 1 sur le premier segment.
2. Doublez chacune d'elles : leurs images sont 0, 1/2, 1, 3/2 et 2.
3. Vérifiez l'unicité : si deux images 2x et 2x′ sont égales, alors x et x′ sont égaux.
4. Vérifiez que rien ne manque : pour tout point y entre 0 et 2, le point y/2 est compris entre 0 et 1 et a pour image y.

La correspondance est donc biunivoque. Le contrôle est refaisable avec n'importe quel y de [0, 2] : divisez-le par 2, puis doublez le résultat. Vous retrouvez exactement y.

Pour comparer deux ensembles infinis, compter successivement leurs éléments ne fournit pas toujours un total exploitable. On cherche plutôt une bijection : chaque élément doit avoir un partenaire unique, sans oubli ni répétition.

Pour vérifier une correspondance proposée, deux contrôles sont nécessaires. Il faut s'assurer que deux éléments distincts ne partagent pas la même image, puis que chaque élément de l'ensemble d'arrivée possède un antécédent.

Dans le cas des deux intervalles, comparer leurs longueurs répond à une question géométrique ; construire la règle x ↦ 2x répond à une question de cardinalité. Le critère choisi dépend donc de ce que l'on veut comparer.

Égalité de cardinalité et égalité de longueur. Une bijection compare les points un à un ; une longueur mesure l'étendue d'un segment. Les intervalles [0, 1] et [0, 2] ont la même cardinalité, tandis que leurs longueurs valent respectivement 1 et 2.

Paradoxe et contradiction. Ici, le mot « paradoxe » signale un résultat opposé à l'intuition issue des ensembles finis, non deux affirmations mathématiques incompatibles. La bijection x ↦ 2x prouve précisément que le résultat est cohérent.

Une règle plausible ne suffit pas. Quelques couples bien choisis peuvent donner l'impression d'un appariement complet. Il faut encore prouver que chaque point a une image unique et que tout point d'arrivée est atteint.

Le domaine et l'arrivée font partie de la règle. La formule x ↦ 2x établit ici une bijection de [0, 1] vers [0, 2]. Si l'ensemble d'arrivée est remplacé par [0, 1], les images strictement supérieures à 1 sortent du cadre annoncé.

Le sous-ensemble doit être strict. Apparier un ensemble avec lui-même n'a rien de distinctif. Le phénomène discuté par Bolzano apparaît lorsque la partie appariée omet au moins un élément de l'ensemble initial.

Le raisonnement fini ne se transpose pas automatiquement. Pour une collection finie, retirer un élément diminue son nombre d'éléments. L'existence d'une bijection avec une partie stricte manifeste justement le changement de comportement dans le cadre infini.

bijection — Préciser le critère qui garantit un appariement sans oubli ni répétition.

infini — Replacer le comportement des ensembles infinis dans une présentation plus générale de l'infini.

Cantor Georg — Situer le mathématicien dont les travaux ont prolongé les réflexions de Bolzano.