Bolzano Bernard

En 1837, Bernhard Bolzano publie Wissenschaftslehre, un ouvrage de logique présenté comme novateur. Ce prêtre, philosophe et mathématicien tchèque d'origine italienne consacre ses travaux mathématiques aux fondements de l'analyse et à l'infini.

Son fil conducteur est la rigueur : il sépare continuité et dérivabilité, étudie une fonction continue sans dérivée en aucun point et interroge l'infini. Deux intervalles de longueurs différentes peuvent ainsi contenir exactement autant de points, au sens où leurs points se correspondent un à un.

Bernhard Bolzano (1781–1848) est un prêtre, logicien, philosophe et mathématicien tchèque d'origine italienne. En 1837, il publie Wissenschaftslehre, un ouvrage de logique présenté comme novateur. Les apports développés ici portent sur ses travaux mathématiques, des fondements de l'analyse à l'étude de l'infini.

En analyse, Bolzano distingue nettement la continuité de la dérivabilité. Une fonction continue ne présente pas de rupture, mais cela ne suffit pas à lui assurer une dérivée. L'exemple qu'il donne d'une fonction partout continue et nulle part dérivable rend cette séparation décisive. À son époque, Cauchy n'envisage guère de fonction continue sans dérivée, sauf en des points isolés.

Bolzano étudie aussi l'infini actuel dans les Paradoxes de l'infini, publiés après sa mort en 1851. Le paradoxe de Galilée y conduit à comparer les intervalles [0,1] et [0,2]. Malgré leurs longueurs différentes, une bijection associe à chaque point du premier un unique point du second, et réciproquement. Cette manière de comparer les ensembles annonce la théorie développée par Cantor. Ses travaux annoncent également la construction rigoureuse des nombres réels par Dedekind et Weierstrass, mais une partie ne devient connue que plusieurs décennies après sa mort.

Comparons les intervalles [0,1] et [0,2] par la correspondance qui double chaque nombre. Le nombre x désigne un point de [0,1], et la fonction f lui associe un point de [0,2].

Données :
intervalle de départ : [0,1] ;
intervalle d'arrivée : [0,2] ;
règle : doubler le point choisi.

1. Écrire la règle de correspondance :2. Vérifier trois points : 0 devient 0, 1/2 devient 1 et 1 devient 2.
3. Pour tout point y de [0,2], le point y/2 appartient à [0,1] et a pour image y.
4. Deux points de départ différents ne peuvent pas avoir la même image : la différence de leurs images vaut deux fois leur différence initiale et reste donc non nulle.

Chaque point de [0,2] est donc atteint une fois et une seule : f est une bijection. Les correspondances 0 ↦ 0, 1/2 ↦ 1 et 1 ↦ 2 rendent ce mécanisme visible. Le contrôle consiste à partir d'un point d'arrivée y et à retrouver son unique antécédent y/2.

Pour comparer deux ensembles infinis, compter par une longueur apparente peut tromper. On cherche plutôt une correspondance un à un : la règle x ↦ 2x établit ainsi la bijection entre [0,1] et [0,2].

Pour étudier une fonction, un tracé sans rupture renseigne sur la continuité, mais pas sur l'existence d'une dérivée. Il faut examiner séparément la dérivabilité au point considéré, puisque Bolzano a montré que les deux propriétés ne se confondent pas.

Pour situer un résultat attribué à Bolzano, on peut le rattacher à son domaine plutôt que lui donner une date unique : logique dans Wissenschaftslehre, analyse pour la continuité et la dérivabilité, infini dans les Paradoxes de l'infini. Si la source ne date pas le résultat, on conserve cette absence de précision.

Continuité et dérivabilité. La continuité exclut une rupture, tandis que la dérivabilité exige l'existence d'une dérivée. Une fonction partout continue et nulle part dérivable tranche : elle possède la première propriété en chaque point, jamais la seconde.

Longueur et nombre de points. [0,2] est deux fois plus long que [0,1], mais la règle x ↦ 2x met leurs points en bijection. La longueur distingue les intervalles comme objets mesurés ; la bijection compare leurs ensembles de points.

Une bijection ne conserve pas les distances. Dans l'exemple, 0 et 1 sont distants de 1, tandis que leurs images 0 et 2 sont distantes de 2. La bijection établit seulement une correspondance un à un ; elle ne rend pas les intervalles égaux en longueur.

Un dessin continu ne prouve pas la dérivabilité. L'absence de rupture visible ne garantit aucune tangente dérivée. Il faut contrôler la dérivabilité séparément, y compris lorsque la continuité vaut en tout point.

Les dates ne se regroupent pas. 1837 est l'année de Wissenschaftslehre. 1851 est celle de la publication posthume des Paradoxes de l'infini. Les autres prolongements mentionnés ne reçoivent pas de date précise dans la source.

Une réception tardive modifie la lecture historique. Une partie des travaux de Bolzano n'est connue que plusieurs décennies après sa mort. Pour éviter une chronologie trompeuse, il faut distinguer le moment du travail de celui de sa diffusion.

Le glossaire bijection précise le critère de correspondance un à un utilisé pour comparer [0,1] et [0,2].

La fiche infini prolonge la question soulevée par le paradoxe de Galilée et l'infini actuel.

La fiche Cantor Georg situe la théorie des ensembles que les travaux de Bolzano annoncent.

La fiche Weierstrass Karl éclaire l'un des prolongements vers une construction rigoureuse des nombres réels.